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1、教育部重点课题新教育子课题 在高中数学教学中如何达到理想课堂的实践,温州市瓯海区三溪中学 张明,2.2.1 双曲线及其标准方程,2012年2月,我们知道历史上是古希腊人最早研究圆锥曲线，公元前262到公元前192阿波罗尼写出圆锥曲线进行系统的研究。,在当时的社会，生活生产实践中有双曲线的存在吗？古希腊人是如何发现双曲线的？,对于圆锥曲线的最早发现，众说纷纭。有人说，古希腊数学家在求解“立方倍积”问题时，发现了圆锥曲线：设x、y为a和2a的比例中项，即。a：x=x：y=y：2a，则x2=ay,y2=2ax，xy=2a2，从而求得x3=2a3。又有人说，古希腊数学家在研究平面与圆锥面相截时发现了与
2、“立方倍积”问题中一致的结果。还有认为，古代天文学家在制作日晷（gui）时发现了圆锥曲线。日晷是一个倾斜放置的圆盘，中央垂直于圆盘面立一杆。当太阳光照在日晷上，杆影的移动可以计时。而在不同纬度的地方，杆顶尖绘成不同的圆锥曲线。然而，日晷的发明在古代就已失传。日晷按照日影测定时刻的仪器 。,但从近代开始，生活中出现了有双曲线的物体即建筑物。它们是人类研究了双曲线的性质后根据双曲线的性质建造的。不知道双曲线的性质，建筑物是造不出来的。,在古希腊虽然知道双曲线，但古希腊人不知道知识就是力量，知识就是生产力。在古希腊知识是有钱人的消遣,是人本身具有的探索大自然奥秘的好奇心才追求知识。到了近代，培根（1
3、561-1626），英国文艺复兴时期最重要的散作家、哲学家。）才提出来知识就是力量。,生活中的双曲线,生活中的双曲线,可口可乐的下半部,玉枕的形状,2.1.1双曲线及其标准方程,椭圆的定义？,探索研究,平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点轨迹叫做椭圆。,思考：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？即“平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数的点的轨迹 ”是什么？,如图(A)，,|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a,如图(B)，,|MF2|-|MF1|=2a,由可得：,| |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）
4、,上面 两条曲线合起来叫做双曲线,每一条叫做双曲线的一支。,看图分析动点M满足的条件：,等于2a或-2a需要死记硬背吗？,答：根据图像知道哪长哪短。, 两个定点F1、F2双曲线的焦点;, |F1F2|=2c 焦距.,02a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2,ab0，a2=b2+c2,双曲线与椭圆之间的区别与联系,|MF1|MF2|=2a,|MF1|+|MF2|=2a,F（0，c）,F（0，c）,对于椭圆、双曲线到底是a大 b大还是才c大？是啊a2 =b2 +c2 还是c2 =a2 +b2 ?需要死记硬背吗？,答：只要一画出椭圆、双曲线的图像从图像上看一目了然。对于双曲线图像上是看不出
5、来a大还是b大，所以就没有a大还是b大。,讨论：,当 取何值时，方程 表示椭圆，双曲线，圆 。,解：由各种方程的标准方程知，,当 时方程表示的曲线是椭圆,当 时方程表示的曲线是圆,当 时方程表示的曲线是双曲线,三、例题选讲,例1 已知两定点 ,动点 满足 ,求动点 的轨迹方程,例1 已知两定点 ,动点 满足 ,求动点 的轨迹方程,变式训练：已知两定点 ,动点 满足 ,求动点 的轨迹方程,变式训练：已知两定点 ,动点 满足 ,求动点 的轨迹方程,例2 已知方程 表示双曲线，求 的取值范围。,分析：由双曲线的标准方程知该双曲线焦点可能在 轴也可能在 轴，故而只要让 的系数异号即可。,例3、已知 两
6、地相距 ，在 地听到炮弹爆炸声比在 地晚 ，且声速为 ，求炮弹爆炸点的轨迹.,分析：依题意有，爆炸地点距 两地的距离差值为一个定值，故而可知，爆炸点在以 为焦点的双曲线上，又在 地听到的晚，所以爆炸点离 较远，应是靠近 的一支。,答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.,随堂练习,变式: 上述方程表示双曲线，则m的取值范围是 _,m2或m1,求适合下列条件的双曲线的标准方程a=4,b=3，焦点在x轴上；焦点为(0,6),(0,6)，经过点(2,5),已知方程
7、 表示焦点在y轴的双曲线，则实数m的取值范围是_,m2,我们知道除了根据双曲线的定义这种运动方式产生的轨迹是双曲线，那还有没有其他的运动方式产生的轨迹是双曲线。这些实验会受到当时社会生产力即科技水平的限制吗？即不管在古代、近代、现代、当代都可以实验。,例2 设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是-4/9,求点M的轨迹方程。,“杂点”可不要忘了哟,只有在近代即笛卡尔时代才可以实验。如果把-4/9改为4/9呢？,2.2.2双曲线的简单几何性质P52例5点M(x，y)到定点F(5，0)的距离和它到定直线l:x=16/5的距离的比是常数5/4，求点
8、M的轨迹。,与2.1.2椭圆的简单几何性质P41例6类比,P54习题2.2A组5与P42 习题2.1A组7类比。,这是圆锥曲线的第二定义，在开普勒（15711630）的发现焦点和离心率下才成为可能。,1、设动圆M恒过定点A(-3,0),且与定圆C:（x-3 ）2 + y2 =4外切,求动圆圆心M的轨迹方程,P54 习题2.2B组3。,应用：,1）已知x轴上的一定点A（1，0），Q为椭圆 上的动点，求AQ中点M轨迹方程。,答案：,2）已知定圆C1： ，圆C2： ，动圆M和定圆C1外切和圆C2内切，求动圆圆心M的轨迹方程。,答案：,古代可以实验，但用近代语言表达。从此题看出为什么那形式称标准方程。古代还好判断，近代很难判断。,古代可以实验且古代的几何法也比较好判断。,
