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1、主要内容：电力系统的稳态可用一组代 数方程组来描述，怎样建立并求解这样 的方程组? 4-1 节点导纳矩阵电力系统等值电路的计算一般采 用 节点方程法，即以母线电压为待求量。 第四章 电力网络的数学模型 一、节点方程 n个独立节点的节点方程一般写成矩阵形式 简写为 二、节点导纳矩阵的物理意义 在i点注入电流，除i点外的其余各 点均接地，测i点电压 在i点注入电流，除k点外的其余各 点均接地，测k点电压 导纳矩阵的特点：1 直观易得； 2 非对角元素很多是0例4-1(P72) 注意非标变比变压器的等值电路（参阅P32图2-12） 三、节点导纳矩阵的修改 3）(3) 从网络节点i与节点j之间切除一条
2、支路 yij，由于未增节点，则矩阵行列不变，只是与 i、j有关的元素改变Yii=-yij Yij=yij Yji=yij Yjj=-yij(1) 从网络i节点引出一条支路yik到新增节点k，则矩阵新增一行一列Ykk=yik，Yik=Yki=-yik，原来的Yii要增加 Yii =yik(2) 从网络i节点引出一条支路yij到节j，由于未增节点，则矩阵行列不变，只是与i、j有关的元素改变Yii=yij Yij=-yij Yji=-yij Yjj=yij例4-2 （P75） 注意为什么Y55=0 ？ 四、支路间存在互感时的节点导纳矩阵 常用方法：解耦等值电路 在解耦后的等值电路中 节点方程为 注意
3、：双端口四节点的独立方程个数只有2个 4-2 网络方程的解法 一、用高斯消去法求解网络方程 方法表达式 上式数学意义很简单：行列式的行变 其物理意义也不复杂：带电流移置的星网变换。 （下面以星三角变换为例）等值电路变换公式 例4-3（P78） 注意由3节点的三角形网络变为2节点的支路（基本上只需移动电流源） 二、用高斯消去法简化网络 n节点网络的节点方程 写成分块矩阵 展开成表达式 消去1m节点（VA）得 简化后的n-m个节点的网络方程为 例4-4 （P81） 一个6节点网络被简化为3节点的网络（方法一）用星-网变换逐个消去1、2、3节点（方法二）用（4-18）式一次消去1、2、3三个节点 4
4、-3 节点阻抗矩阵 一、节点阻抗矩阵元素的物理意义首先应注意：这里讲的是节点阻抗矩 阵，依然针对网络节点方程，而不是回路 方程。节点方程为 ZI=V其中，Z=Y-1 I为节点注入电流源而不 是回路电流。节点方程的矩阵展开式为阻抗矩阵元素： 对角元素 称为自阻抗或输入阻抗（在i点注入电流 ，其它节点注入电流为0，测Vi） 非对角元素 称为互阻抗（在k点注入电流，其它节点 注入电流为0，测Vi） * 注意互阻抗与转移阻抗的区别： 转移阻抗 （在i点施加电势，k点对地短路，测k点的短路电流Ik） 二、用支路追加法形成节点阻抗矩阵（略）原因：节点方程是以节点电压为求解对象，所以方程（4- 20）实际上
5、是一个答案方程，形成Z的过程实际是人工求解的过 程，较为烦琐，不如借助于计算机求Y-1。三、用线性方程直接解法对导纳矩阵求逆（略）原因：矩阵求逆的数学方法很多，计算机数值辅助程序也很多，没必要针对某一种方法来分析。 第十一章 电力系统的潮流计算 11-3 复杂电力系统潮流计算的数学模型 一、潮流计算的定解条件 网络的节点方程是潮流计算的基础方 程，n个节点的方程形式可写成功率形式 写成更直观的形式 分析（11-25）式的特征： 这是一组非线性复数方程（功率是电压的二次函数）； 每个节点有4个变量P、Q、V、，n 个节点有4n个变量； 方程组按实部和虚部分别平衡共计有2n个独立方程，因此（11-
6、25）为不定方程，需要将4n个变量中的2n个变 量设为定量，使方程成为定解方程。 基本方法：每个节点的4个变量中的2个设为确定量（已知量），另2个为待求量。 依确定量的不同，节点分成三种类型：1、 PQ节点P、Q为确定量，V、为待求量。电力系统绝大部分节点被当作PQ节点。2、 PV节点P、V为确定量， Q、为待求量。发电厂出口母线、担当调压任务的枢纽变电站（无功可调）一般被当作PV节点。3、 平衡节点V、为确定量， P 、Q为待求量。整个系统中只有一个这种节点，起平衡P的作用，一般选择主调频电厂为平衡节点。 二、潮流计算的约束条件 11-4 牛顿-拉夫逊法潮流计算一、牛顿-拉夫逊法的基本原理
7、单变量非线性方程f(x)=0 (11-29)先给出一个预估的近似值x(0)，它与真 值的误差设为x(0)，则x= x(0)+ x(0)满足方 程(11-29)：f(x(0)+ x(0)=0将上式展开成泰勒级数并略去x(0)的 二次以上高阶项 这是一个以修正量x(0)为待求量的线 性方程，称为修正方程，解修正量得 修正后的近似解为 x(1)仍有误差，按同样步骤反复迭代， 迭代公式为 迭代过程收敛判据牛顿迭代的几何意义 将牛顿迭代法用于n变量的非线性方程组 F（X）=0 得 迭代过程 收敛判据 二、节点电压用直角坐标表示时的牛顿-拉夫逊法潮流计算 节点电压表示为 导纳矩阵元素表示为 将上面两个表示
8、式代入（11-25）式，并 分别使实部和虚部左右平衡，得假定系统中1m号节点为PQ节点 ，第i个节点的设定功率为Pis和Qis ，则 由（11-45）式构造非线性方程： 假定系统中m+1n-1号节点为PV节 点，则可构造非线性方程：上面（11-46）、（11-47）共有 2(n-1)个方程，由于平衡节点的电压是 给定的，不参与迭代，故共有2(n-1)个 ei、 fi变量，不难写出此非线性定解方 程的修正方程为 潮流计算流程： （1）由上一步迭代算出的e(k)和f(k)计算 出P(k)、Q(k)、V2(k) （2）检验 max|P(k)，Q(k)，V2(k)| ？ 如满足，则停止迭代，转入各支路
9、功率 计算和平衡节点功率计算；否则继续 （3）用e(k)和f(k)计算雅可比矩阵中的各 个元素 （4）用高斯消去法求解修正方程，得出 修正量e(k)、f(k) （5）修正各节点电压e(k+1)=e(k)+ e(k)， f(k+1)=f(k)+ f(k) （6）返回第（1）步进入下一轮迭代三、节点电压用极坐标表示时的牛顿-拉夫逊法潮流计算 节点电压表示为导纳矩阵元素仍然表示为将上面两个表示式代入（11-25）式，并 分别使实部和虚部左右平衡，得依然假定 1m号节点为PQ节点，m+1n-1号节点为PV节点，n号节点为平衡节点。 根据（11-57）第一式对所有PQ、PV 节点构造非线性方程 根据（1
10、1-57）第二式对所有PQ节点构 造非线性方程 两式中包含n-1+m个方程，与待求量 个数相同。这两式的修正方程为 式中 雅可比矩阵分为四个子阵H为(n-1)(n-1)阶，N为(n-1)m阶，K为m(n-1)阶，L为mm阶。 各子阵中的元素表达式为 注意仔细观察：雅可比矩阵中的元素 量纲均为功率，而最右边修正量为无量纲 列向量。 牛顿迭代的算法和步骤与直角坐标类似。 11-5 P-Q分解法潮流计算 算法本质：根据电力系统实际特点，对极坐标牛顿法数学模型进行简化。 实际特点：输电线路（支路）电抗比电阻大得多，母线（节点）有功功率P变化主要受电压相位的影响，无功功率Q变化主要受电压幅值影响。 对极
11、坐标牛顿法数学模型的简化步骤： （1） (1) 根据输电线路实际特点，结合分析 雅可比各子阵Hij、Nij、Kij、 Lij表达式， 可认为Nij0，Kij0因此修正方程简化为（2）实际输电线路两端电压相角差 ij 一般不大（10o20o），故有实际节点上无功负荷的等效导纳在 节点自导纳中只占很小比例，即 由（11-62）、（11-63）得H、L元 素的常数简化式为Hij=ViVjBij (11-66)(i,j=1,2,n-1)Lij=ViVjBij (11-67)(i,j=1,2,m)矩阵H、L分别写成 修正方程（11-64）、（11-65）可写成整理并写成展开式 式（11-72）、（11-73）就是P-Q 分解法潮流计算模型，与极坐标牛顿 法（11-60）比较： 系数矩阵由一个(n-1+m)(n-1+m) 阶大矩阵简化为(n-1)(n-1)阶、mm阶 两个小矩阵 系数矩阵元素由变量变为常数， 对计算机编程计算而言，无须每步迭 代都对系数矩阵元素进行更新，大大 降低计算时间 虽然模型不如牛顿法全面（计算 精度相同），但满足一般工程要求， 故P-Q分解法更具有实用性
