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1、第四章第四章 矩阵的特征值矩阵的特征值第一节第一节 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 第二节第二节 相似矩阵与对角化相似矩阵与对角化 第三节第三节 实对称矩阵的特征值与特征向量实对称矩阵的特征值与特征向量4-1-1第一节第一节 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的性质4-1-2一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念 定义定义成立 ,(1)设A为n阶矩阵,如果存在数和n维维非零向量x,使 Ax= x那么称数为矩阵A的特征值,而称向量x为矩阵A属于特征值的特征向量.方阵的特征值与特征向量3说明说明1. 特征向量x0,特征向量
2、是方阵A属于特征值2. n阶方阵A的特征值是齐次线性方程组(A-E)x=0有非零解的值,即满足方程| A-E|=0的值均是矩阵A的特征值.的向量.方阵的特征值与特征向量4的特征方程.是以为未知数 的一元n次方程, 称| A-E|=0为A记f()=| A-E|,它是 的n次多项式, 称其为方阵A特征多项式方阵的特征值与特征向量54. n阶方阵 A=(aij)的特征值1, 2, n又称矩阵A的特征根.若0是特征方程的k重特征根, 则称方阵A的k重特征根特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的求法1.求方阵 A=(aij)的特征方程| A-E|=0的值1, 2,n2.对于方阵 A=(aij)的特征值
3、0,求属于该该特征值值的特征向量方阵的特征值与特征向量6例例1 1解解 A的特征多项式得A的特征值 1=-2, 2=4当1=-2时,有(A+2E)x=0,即求A的特征值与特征向量.其中方阵的特征值与特征向量7解之得, 5x1=-x2.矩阵A属于1=-2的全部特征向量 k1(1,-5)T于是相应的特征向量可取p1=(1,-5)T当2=4时,有(A-4E)x=0,即解之得, x1=x2.矩阵A属于2=4的全部特征向量 k2(1,1)T于是相应的特征向量可取p2=(1,1)T方阵的特征值与特征向量8例例2 2解解 A的特征多项式得A的特征值 1=2, 2= 3=1 当1=2时,有(A-2E)x=0求
4、A的特征值与特征向量.其中方阵的特征值与特征向量9解之得, x1=x2=0, x3为任意实数矩阵A属于1=2的全部特征向量于是相应的特征向量可取p1=(0,0,1)Tk1 p1 = k1(0,0,1)T k1 0为任意实数方阵的特征值与特征向量10解之得, x1=-x3, x2=-2x3矩阵A属于2= 3=1的全部特征向量于是相应的特征向量可取p1=(-1,-2,1)T当2= 3=1时,有(A-E)x=0k2 p2 = k2(-1,-2,1)T k20为任意实数方阵的特征值与特征向量11例例3 3求A的特征值与特征向量解解 A的特征多项式得A的特征值 1=-1, 2= 3=2 当1=-1时,有
5、(A+E)x=0方阵的特征值与特征向量12解之得, x2=0, x1=x3为任意实数矩阵A属于1=-1的全部特征向量于是相应的特征向量可取p1=(1,0,1)Tk1 p1 = k1(1,0,1)T k1 0为任意实数方阵的特征值与特征向量13解之得 -4x1+ x2+x3=0矩阵A属于2= 3=2的全部特征向量于是相应的特征向量可取p2=(0,1,-1)T, p3=(1,0,4)T当2= 3=2时,有(A-2E)x=0k2 p2+ k3 p3 = k2(0,1,-1)T+ k3(1,0,4)Tk2 k3 0为任意实数方阵的特征值与特征向量14例例4 4 n阶方阵A为奇异矩阵的充要条件是A有一
6、个特征值等于0.证明证明必要性若A为奇异矩阵,则|A|=0,于是有|0I-A|=(-1)n |A|=0,故0是A的一个特征值.若0是A的一个特征值,其相应的特征向量x,充分性由定义知 Ax=0x=0 ,因特征向量x0,要使齐次线性方程组Ax=0 有非零解,则需要|A|=0,即A为奇异.方阵的特征值与特征向量15例例5 5证明 若是矩阵A的特征值,x是A的属于证明证明再继续施行上述步骤m-2次,就得的特征向量,则有 (1)m 是Am的特征值(m是任意常数)故m 是Am的特征值,且x是Am 属于m的特征向量.(2)当|A|0时时,则则-1 是A-1的特征值.方阵的特征值与特征向量16故-1 是A-
7、1的特征值,且x是A-1 属于-1的特征向量.(2)若|A|0时时,则则A可逆,于是知A的特征值值0.方阵的特征值与特征向量17二、特征值和特征向量的性质二、特征值和特征向量的性质方阵的特征值与特征向量性质1 设0 是A的特征值,则k0 是kA的特征值证明若0 是A的特征值, 则x0于是k0 是kA的特征值.18方阵的特征值与特征向量性质2 设0 是A的特征值,且|A|0,则-1 是A-1的证明 见例5特征值19方阵的特征值与特征向量性质3 n阶方阵A与其转置矩阵AT有相同的特征值.证明故A与AT有相同的特征值.20性质4 n阶方阵A=(aij), 如果(1)有一个成立,则A的所有特征值k (
8、k=1,2, ,n)的模|k |1.证明证明只需证A的任意特征值的模| |1即可.设A的属于的特征向量为x,于是有方阵的特征值与特征向量21既有 | |1,再由的任意性知 类似证明 (2). 方阵的特征值与特征向量22性质5 设1,2, ,m为方阵A的m个特征值, 量,如果1,2, ,m各不相同,则x 1, x 2, , x mx1, x2, , xm 分别为方阵A的与之相应的特征向证明证明利用数学归纳法证明当k=1时,结论显然成立.假设k=m-1时,结论成立,那么当k=m时,有线性无关.方阵的特征值与特征向量23用A左乘(1)有用m左乘(1)有(3)-(2)有因1,2, ,m-1各不相同,且
9、x1, x2, ,x m-1线性则k 1=k 2= = k m-1=0 , 代入(1)式得 k m=0 .于是x 1, x 2, x m线性无关.无关,方阵的特征值与特征向量24性质6 设n阶方阵A的全部特征值 1,2, ,n,则有 (1) 1+2+ +n=a11+a22+ann证明证明略.即A的所有特征值的和等于A的主对角线元素之和;方阵的特征值与特征向量(2) 12 n=|A|A的所有特征值的积等于A的行列式值.25例例6 62= 2, 求x值和A的另一特征值解解 利用上述性质6,知而|A|=x+2,于是解得 3=3,x=4方阵的特征值与特征向量已知A有特征值 1=1, 1+2+ 3=1+x+112 3=|A|26注意1.属于不同特征值的特征向量是线性无关的2.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合 仍是属于这个特征值的特征向量3.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值 而言的,一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值方阵的特征值与特征向量27求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤：三、小结三、小结方阵的特征值与特征向量28
