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1、 24 中学数学月刊 2013年第4期 “函数帕概急的教学设计及反思 章玉龙 (江苏省张家港高级中学215600) 初中阶段函数的概念是一个描述性的概念， 而在高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关 系，同时还用集合与对应的语言加以刻画，更注重 函数模型化的思想，注重函数内涵的刻画由于函 数定义的高度抽象性，直接告知定义，学生很难理 解和掌握实践证明，只有引领学生经历概念的形 成过程，才能真正让学生理解概念2011年笔者 有幸参加了苏州市高中青年教师评优课并获一等 奖，现把本节课的教学设计与反思呈现如下 1 过程设计 11 感悟问题情境 实例1 本学期你们寝室的长和宽各5米， 下学期调换为长增
2、加2米、宽减少2米的寝室你 们愿意吗?请说明理由 小组合作：考虑周长的学生说愿意，考虑面积 的学生说不愿意 师：设长增加z米，宽减少 米，则面积S一 25一 (O 5) 增加(或减少)的长度z的变化范围可以表 示为数集A一 l 0z5，面积S的变化范 围是数集B一S0S25 实例2 估计人口数量变化是我国制定一系 列相关政策的依据从人口统计年鉴中可以查得 我国从1949年至1999年人口数据资料如下表， 你能根据这个表说出人口的变化情况吗? 年份 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 l994 1999 人口数百万 542 603 672 7
3、05 807 909 975 1035 1107 1177 1246 实例3 图1为某市一天24小时内的气温变 化图，全天中最高和最低气温分别是哪个时刻? 说明 根据 教材内容，恰当处 理教材，选择学生 身边的素材作为 新课引入的实例， 图1 利用简单的、熟悉的问题情境激发学生学习的积 级性3个实例说明了当一个量(如长宽、年份和 时间)变化时，另一个量(如面积、人口和气温)也 随之变化这就是初中用来描述两个变量之间的 依赖关系的函数，3个例子分别用解析法、列表法 和图象法给出，意在呼应下一节函数的三种表示 法 12 参与概念建构 问题1 在上面的例子中，是否确定了函数 关系?为什么? 问题2
4、在上面的例子中，涉及哪些集合? 其中的表格、表达式和图象的作用是什么? 问题3 通过对三个实例的分析，你能说出 它们的异同点吗? 说明 培养由具体到抽象的概括思维能力， “一般化”是数学理解的最高境界 小组合作： 不同点：例1是用解析式刻画变量之间的对 应关系；例2是用表格刻画变量之间的对应关 系；例3是用图象刻画变量之间的对应 共同点：它们都是函数，解析式、图象、表格只 是用不同的方式来表示函数的某种对应关系； 每一个问题都涉及两个非空数集，两个数集 A，B之间都有一种确定的对应关系，且对A中的 每个元素 ，都有惟一Y E B与之对应 师：这三个问题还可用一个 I 模型来刻画(图2) I 问
5、题4 我们初中学习过l ， I 的函数都有这样的特征吗?如何L_7 用集合语言阐述几个实例的共同 l 特占7 T惟一 你的结论是否正确地概 图2 括了例子的共同特征? 你现在的认识与初中函数概念是否有本 质上的差异? 问题5 你能从“两个角度”对函数进行描述 吗?引导学生注重从不同角度认识函数概念；注 重对运动、变化的体现与分析 小组合作：用变量的观点描述(进一步体 会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模 型)； 用集合与对应的语言来刻画函数： 一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按 某种对应法则-厂，对于集合A中的每一个元素z， 在集合B中都有惟一的元素Y和它对应，那么这 样的对应叫做
6、从A到B的一个函数(function)， 2013年第4期 中学数学月刊 25 通常记为Y一，(z)， A其中，所有的输入值z 组成的集合A叫做函数yf(x)的定义域 (domain)， 称为自变量，Y称为因变量 师：(1)函数实际上就是建立在两个非空数 集A，B上的一种特殊对应单值对应， ，：AB (2)对应法则厂可以是一个数学表达式，也 可是一个图形或是一个表格 如实例2中，-厂(1949)=542 问题6 判断下列对应是否为集合A到B 的函数： (1)A一1，2，3，4，5，B一2，4，6，8，10，f： z 2x： (2)A一1，2，3，4，5)，B一0，2，4，6，8，厂： z 2x
7、： (3)A一1，2，3，4，5，BN，f：X一2x 说明 体会、深化理解函数定义中的几个要 素，才能感悟两个给定集合间是否具有函数关系 问题7 如图3， A(一2，O)，B(2，0)，点C 在直线Y一2上移动则 ABC的面积S与点C 的横坐标z之间的变化 关系如何表达?面积s 是C的横坐标 的函数 吗? y 1 C 0 口 图3 问题8 函数Yf(x)(zR)和直线z a有几个交点? 说明 问题7、8的设计目的是，将抽象的函 数概念转化为具体图形语言，在研究图象时，注意 代数刻画以求思考和表述的精确性，如通过直线 a与曲线有一个或零个交点形象生动地描述 函数概念 问题9 阅读教材，理解函数的
8、定义域 (domain)、值域(range) 师：我们把对应法则、定义域和值域称为构 成函数的三要素特别地，对于函数厂：AB而 言，如果值域是c，那么C和B间的关系是 生：C B 问题1O 拓展、探究、延伸： (1)下列各组函数中，是否表示同一函数? 为什么?如何判断两个函数是否为同一函数? (i) 与Y一 2； Z (ii) =2x一1(zR)与y=2t一1(R) (2)已知一个函数的解析式为Yz ，它的值 域是1，4)，求函数的定义域 13 思考与练习(略) 14 归纳小结 (1)用集合与对应的语言描述了函数，这是 对初中函数概念的深化 (2)函数的三要素：对应法则、函数的定义 域、值域；
9、如何判断两个函数是否为同一函数 (3)对于函数厂：AB而言，如果值域是C， 那么C和B间的关系是C B 2 教学反思 (1)学生掌握概念的一般特点是：概念外延 的掌握优于概念内涵的掌握对概念内涵的掌握， 取决于概念本质特征的多少以及它们之间的关 系函数概念的学习中，要求学生进行数形结合的 思维运算，进行符号语言与图形语言的灵活转换 但在学生的认知结构中，数与形基本上是割裂的， 学生的函数概念表象主要是函数图象(直线、抛物 线这两种类型居多)，很少有学生的函数概念表象 是标准的对应定义因此，教学中还可以结合所 教班级的实际再补充一些实例，如加油站给汽车 加油时油量与金额之间的关系等在进一步体会
10、两个变量之间的依赖关系的基础上，学习用集合 与对应的语言来刻画单值对应，领悟函数就是从 一个数集到另一个数集的单值对应，让学生明白 “单值对应”是函数对应法则的根本特征 (2)在构建函数的概念时，要重点突出一个 对象对另一个对象的依赖关系建立函数，必须交 代定义域但是，对定义域和值域不作过多技巧要 求和训练 在函数定义的教学过程中，需突出以下几点： 集合A与集合B都是非空数集； 对应法则的方向是从A到B； 强调“非空”、“每一个”、“惟一”这三个关 键词 (3)化解学生学习函数困难一要重视函数概 念的形成过程，二要重视对变量概念的理解，使学 生认识“变量可以在某种约束条件下取不同的 值”，以及在这个约束条件下变量之间的对应关 系，从而发展学生的变量概念；三要重视不同表示 方式之间的转换函数的表示主要使用解析式，但 实际上各种表示(语言的、图象的、表格的、符号 的)之间的相互转换，可以加深学生对函数概念 的理解；四要重视函数的实际应用在解决实际问 题的过程中，学生对函数概念以及与它相关的变 量、代数式、方程等知识都能够加深理解
