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1、CH5 曲线拟合和函数逼近1、最小二乘原理和多项式拟合2、一般最小二乘拟合3、正交多项式曲线拟合4、最佳平方逼近预备知识定义：若 在a,b上连续，如果当且仅当 时成立，则称在a,b上是线性无关的，若函数族 中的任何有限个线性无关，则称 为线性无关函数族。预备知识例 就是a,b上的线性无关函数族称为由 生成的函数集，其中预备知识定理 在a,b上线性无关的充分必要条件是它的Cramer行列式其中内积实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表 是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数 是记录:1 最小二乘法纤维强度随拉伸 倍数增加而增加, 并且24个点大致分 布在一条直线附近,因此可以
2、认为强度 y与拉伸倍数x的主要关系应是线性关 系。-(1) 如何求0，1 ？曲线拟合问题：称为平方误差(偏差)求y(x)使得ri 按某种标准最小，从而反映数据的总体趋势，称为曲线拟合问题。可选:1)利用这个极值不易求y(x)2)利用上述取极值的想法求y(x)的方法即为最小 二乘原理思想。一、线性最小二乘拟合已知 ，求使得称为最小二乘拟合问题。其解 称为 线性最小二乘拟合函数。二、Pn(x)的求解由可知因此可假设因此求最小二乘解转化为二次函数由多元函数取极值的必要条件得即(2)(3)-(4)(4式即为：)记则由内积的概念可知-(5)-(6)显然内积满足交换律-(7)将其表示成矩阵形式-(8)(8
3、)式称为法方程组-(4)则(8)可表示为-(8)记三、 最小二乘拟合多项式定义：对于给定的数据 ，求使得称为最小二乘拟合多项式。此时则最小二乘多项式拟合的法方程组为- (9)-(8)最小二乘拟合多项式的存在唯一性定理1 设点 互异，则法方程组(9)的解存在且唯一。定理2 设 是法方程组(9)的解，则是最小二乘拟合多项式，即例1. 回到本节开始的实例，从散点图可以看出纤维强度和拉伸倍数之间近似与线性关系故可选取线性函数法一：利用(9)式建立法方程组解得最小偏差为法二：利用一般线性最小二乘拟合的做法，先求此例中其基函数为即为法方程组例2. 求拟合下列数据的最小二乘解x=0.24 ,0.65,0 .
4、95,1.24,1.73,2.01,2.23,2.52,2.77,2.99 y=0.23,-0.26,-1.10,-0.45,0.27,0.10,-0.29,0.24,0.56,1解:从数据的散点图可以看出6.7941 -5.3475 63.2589 -5.3475 5.1084 -49.0086 63.2589 -49.0086 1002.51.6163 -2.3827 26.7728通过计算,得法方程组的系数矩阵及常数项矩阵为用Gauss列主元消去法,得-1.0410-1.26130.030735拟合的最小偏差为例3. 求拟合下列数据的最小二乘解(用二次多项式)x= -2 -1 0 1 2 y= 0 -2 -1 1 2练习解得最小二乘拟合为：四、非线性最小二乘拟合思想：非线性线性化例如 对拟合函数两边取对数五、利用最小二乘原理求解矛盾方程组(不相容)例如 求不相容方程组
