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1、二、第二类换元法第二节一、第一类换元法机动 目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法第四章 第二类换元法第一类换元法基本思路 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设可导, 则有一、第一类换元法定理1.则有换元公式(也称配元法即, 凑微分法)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 求解: 令则故原式 =注: 当时机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 求解:令则想到公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求想到解:(直接配元)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 求解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似例5. 求解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 常用的
2、几种配元形式: 万 能 凑 幂 法机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 求解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7. 求解: 原式 =例8. 求解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 例9. 求解法1解法2 两法结果一样机动 目录 上页 下页 返回 结束 例10. 求解法1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法 2 同样可证或机动 目录 上页 下页 返回 结束 例11. 求解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 例12 . 求解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例13. 求解:原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 例14. 求解: 原式=机
3、动 目录 上页 下页 返回 结束 分析: 例15. 求解: 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 小结常用简化技巧:(1) 分项积分:(2) 降低幂次:(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法(4) 巧妙换元或配元万能凑幂法机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用积化和差; 分式分项;利用倍角公式 , 如思考与练习1. 下列各题求积方法有何不同?机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 求提示:法1法2法3作业 目录 上页 下页 返回 结束 二、第二类换元法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法 .难求，定理2 . 设是单
4、调可导函数 , 且具有原函数 ,证:令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有换元公式例16. 求解: 令则 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例17. 求解: 令则 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例18. 求解:令则 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 令于是机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明:被积函数含有时, 除采用采用双曲代换消去根式 , 所得结果一致 . 或或机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角代换外, 还可利用公式原式例19. 求解: 令则原式当 x 0 时, 类似可得同样结果 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 小结:1. 第二类换元法常见类型:
5、令令令或令或令或机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节讲机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 常用基本积分公式的补充(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例20. 求例21. 求解:例22. 求解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 例23. 求解: 原式例24. 求解: 令得原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例25. 求解: 原式令例16例16 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习1. 下列积分应如何换元才使积分简便 ?令令令机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 已知求解: 两边求导, 得则(代回原变量) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业P2042 (4) , (5) , (8) , (9) , (11) , (16) , (18) , (19) , (21) , (25) , (28) , (29) , (30) , (32) , (33) , (35) , (36) , (40)第三节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 1. 求下列积分:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.求不定积分解： 利用凑微分法 ,原式 =令得机动 目录 上页 下页 返回 结束 分子分母同除以3.求不定积分解: 令原式机动 目录 上页 下页 返回 结束
