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1、三维情形：3D一维情形：1D受限运动定态给定特殊 V(x)， 研究量子力学效应第三章 一维定态问题主要内容u 一维定态的一般性质u 最简情形 一维方位势u 一维散射u 势u 一维谐振子3.1 一维维定态态的一般性质质1、一维定态情形下的Schrdinger方程三维一维定态 ：具有一定能量的态，即 粒子的 能量 E 为定 值，不随时间变化。 波函数可以分离变量：时空分离一维定态情形下的Schrdinger方程注：在量子力学中，一般情况下都认为势函数 V(x) 取 实数，满足2、7条定理出发点：薛定谔方程性质一维定态条件 定理1：若是薛定谔方程的解，能量本征值为E，则* 也是该方程的解，也对应E。
2、推论：若对于同一E，解无简并，它可为实数解。因为无简并，则*c ， c* = |c|2。所以 |c|2=1。|c|=1，cei（为实数）。不妨令 0，则， * ， 为实数解。简并：对应同一个能量本征值，有两个或两个以上的不 同解（波函数）。 无简并：对应同一个能量本征值，只有一个解。定理2：对应能量本征值 E，薛定谔方程必有一组实 解。对于简并情形，属于E的任何解都可表示为这组 实解的线形叠加。 定理3：设势函数 V(-x) = V(x), 如果 (x) 是薛定谔方 程对应于能量本征值 E 的一个解，则 (-x) 也是该方 程的解，也对应于 E。 定理4：设 V(-x) = V(x), 则对于
3、任何一个能量本征值 E，总可找到薛定谔方程的一组完备解，且任何一个 解都具有确定的宇称。宇称：解的坐标空间对称性，即奇函数或偶函数定理14 对三维定态也成立定理5：对于一维阶梯方形势V1 (x a) 则， (x) 和 (x) 是连续的。定理6：对于一维定态，设1(x) 和2(x) 都是薛定谔方 程的解，对应于同一能量本征值 E，则 1 2 - 2 1 = Constant (与x无关) 定理7：规则势场（是指势函数无奇点）中运动的粒子 ，如果存在束缚态，则该态必定不是简并的。3.2 最简简情形 一维维方势势阱1、特例之一 无限深方势阱与分立谱0 (0 a 和 x a/2 )如何求解？如何理解方
4、程解的物理意义？如果 V0 趋于无穷大，结果又如何？-a/2a/2x 0V0求解步骤：1) 依据势函数V(x)在不同位置处取不同取值，写出不 同区域的薛定谔方程；（物理）2) 依据二阶微分方程求解步骤进行求解，列出所以可 能解，即通解；（数学）3) 根据边界条件定出特解（本征波函数和相应的能量 本征值）（物理数学）还要理解解的物理意义（物理上的思考）3、一维束缚态与分立谱的关系（自己阅读课本，主要是定性上的理解）一些结论： 1) 束缚定态（E V0）：能量分立，导致分立谱；2) 基态没有节点； 3) 束缚定态波函数振荡行为与节点的关系：波函数一 次振荡，有一个节点；n 次振荡，n 个节点； 4) 束缚定态节点与激发态的关系：波函数有 n 个节点 ，对应的状态就是第 n 个激发态。
