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1、1. (1、 2) （ 数 学 、 初 中 竞 赛 、 函 数 与 最 值 、 选 择 题 ）多 项 式 的 最 小 值 是 ( )x2-x+1.1 B. 54 C.12 D.34分 析 ： x2-x+1=(x-12)2+34详 解 ： D技 巧 ： 求 最 值 的 方 法 之 一 ， 即 为 把 原 式 的 未 知 数 转 化 成 完 全 平 方 的 形 式 .易 错 点 ： 此 题 容 易 把 最 小 值 当 成 是 x=0 时 的 情 况2. (1、 2) （ 数 学 、 初 中 竞 赛 、 函 数 与 最 值 、 选 择 题 ）在 Rt ABC 中 ， 斜 边 c=10， 两 直 角
2、边 ， 则 a+b的 最 大 值 是 （ a 8， b 8）A.102 B.14 C.83 D.16分 析 ： 依 题 意 得 于 是a2+b2=100. (a+b)2=a2+b2+2ab=100+2ab.故 只 需 求 ab 的 最 大 值 .设 m=a2b2=b2(100-b2)= -b4+100b2=2500-(b2-50)2，而 ，则当 ，即 时，64 b20- -c2(a-b2)=1，-b2-c-a-b2= -85b b+c=2ac=35b 所 以 c=35b， a=45b，因 此 有 ， 从 而 可 知 ABC是 直 角 三 角 形 .a2+c2=b2详 解 ： D技 巧 ： 根
3、据 二 次 函 数 的 定 义 和 二 次 函 数 的 最 值 解 题 ， 形 如 的函数 ( ) = 2+( 0)叫一元二次函数，当 时，函数有最值 .=-2 4-24易错点：二次函数的二次项的系数不能为 04. (2、 3) （ 数 学 、 初 中 竞 赛 、 函 数 与 最 值 、 填 空 题 ）已知实数 a，b，c 满足 ，则 a的最大值为_ .a+b+c=0， a2+b2+c2=6分析： ， 则 ， 即c= -(a+b) a2+b2+-(a+b)2=6 b2+ab+a2-3=0，我 们 把 b 当 作 未 知 数 ， 那 么 在 一 元 二 次 方 程 存 在 实 数 解 ，b2+a
4、b+a2-3=0，从 而 所以 a的最大值为 2. =a2-4(a2-3)=-122+48 0， -2 a 2.详解：2技巧：有时候用一元二次方程的判别式来分析题目，会有意想不到的收获.5. (4、 5) （ 数 学 、 初 中 竞 赛 、 函 数 与 最 值 、 填 空 题 ）函 数 的 最 小 值 是 _ .f(x)= x2+1+ (4-x)2+4分析： 如图所示： AB=4， AC AB， DB AB，设 则 ， 即AC=1， BD=2， OA=x， = x+1， OD= (4-x)2+4在 AB 上 求 一 点 O， 使 OC+OD 最 小 ， 设 E 为 C 关 于 AB 的 对 称
5、 点 ， 根据两点之间直线最短，所以最短的距离就为 DE，OC+OD=O+OD，做矩形 ABFE，那么 EF=AB=4，DF=BF+BD=3 ，根据勾股定理 DE= =52+2即最小值为 5详解：5技巧：解此类函数题，我们可以作图，根据数形结合解决问题.易错点：在数形结合中，根据题意做两点间的距离，记得先做对应点.6. (3、 4) （ 数 学 、 初 中 竞 赛 、 函 数 与 最 值 、 填 空 题 ）设 a， b是 正 整 数 ， 满 足 ， 那 么 的 最 小 值 _.ab-a+3b=63. a+2b分析： 要 求 的 最ab-a+3b=63(a+3)(b-1)=60， (a+3)(2
6、b-2)=120. a+2b小 值 ， 可 先 求 的 最 小 值 ， 此 最 小 值 出 现 在 和 的 差 的 绝 对 值(a+3)+(2b-2) a+3 2b-2最 小 的 时 候 .也 就 是 或 的 情 形 ，:a+3=102b-2=12 a+3=122b-2=10 解 得 或 .都 可 推 得 ， 这 就 是 所 求 的 最 小 值 . a=7b=7 a=9b=6 a+2b=21详 解 ： 21技 巧 ： 补 证 ： 已 知 为 固 定 的 正 数 ， ， 则 x， y的 差 的 绝 对 值 越 小 ， 就xy=P x， y0 x+y越 小 ， 这 是 因 为 (x+y)2=(x-
7、y)2+4xy=|x-y|2+4P易错点：需要看清题意，a ， b是 正 整 数 .2111 4-xx BDO FEAC7. (3、 4) （ 数 学 、 初 中 竞 赛 、 函 数 与 最 值 、 解 答 题 ）设 是 方 程 的 两 个 实 根 ， 当 m为 何 值 时 ， 有 最 小 值 ，x1， x2 2x2-4mx+2m2+3m-2=0 x21+x22并 求 这 个 最 小 值 . 分析：我们知道方程有 2个实根，那么方程的判别式就大于 0；利用韦达定理，我们可以将所求式用 m来表示；在 m的取值范围内，讨论 的最小值.x21+x22详解：因为原方程有两个实根，所以 =(-4)2-4
8、2(22+3-2)0解得： ； 根据韦达定理 ，23 1+2=2， 12=22+3-23(1+2)2=x21+x22+212=x21+x22+22+3-2=42所以 x21+x22=22-3+2=2(-34)2+78因为当 时， 随着 m的增大而减小，故 时，当 时，有0- -c2(a-b2)=1，a-b2-c-a-b2= -85b b+c=2ac=35b c=35b， a=45b， 从 而 可 知 ABC是 直 角 三 角 形 . a2+c2=b25.C 由 题 中 三 个 式 子 相 加 得 ， 即 ， 所1a+2b+2c+1d=1c+1d+1a 2b+1c=0以 .从 而 代 人 已 知
9、 式 子 中 ， 得 要 使 a， c， d都 是 整 数 ， b应 是= -b2 a= -b3， d= -b.2， 3 的 公 倍 数 .由 ， 要 使 尽 可 能 小 ， 只 要 使 尽 可 能 大 ， 从 而 b应1a+1b+1c+1d= -5b -5b 5b取 2， 3的 最 小 公 倍 数 6（ 此 时 -a= -2， c= -3， d= -6).6.C 由 可 知c=m-1m= -(1m-m)= -d， 00 dc. a=1-1m= -(1m-1)= -b， b=1m-11-1=0知 考 虑 与 之 差 ， 有aa. d=1m-m b=1m-1 d-b=(1m-m)-(1m-1)=
10、， 可 知 ， 得 ， 即 .于 是1-m1-1=0 db -d0任 意 的 k 值 ， 抛 物 线 与 x 轴 总 有 2 个 交 点 ， 设 抛 物 线 与 x 轴 的 交 点 的 横 坐 标 为 ，x1， x2则 又 因 为 抛 物 线 的 顶 点 坐 标|AB|=|x1-x2|= (x1+x2)2-4x1x2= k2+2k+5.为 所 以C(k-12， -k2+2k+54 )， sABC=12k2+2k+5|-k2+2k+54 |=又 因 为 ， 当 时 等 号 成 立 ， 所18(k2+2k+5)3. k2+2k+5=(k+1)2+4 4 k= -1以sABC 1843=1.8.3
11、5x2+4y2-8xy+2x+4=4(x2-2xy+y2)+(x2+2x+1)+3=4 -1 y=3x+6 x= -22. 本 题 通 常 用 数 轴 上 点 的 绝 对 值 表 示 法 来 解 决 ， 还 可 以 用 分 类 讨 论 法 解 决 . 14. 由 题 意 得 ， 得577 3a+2b=5-c， 4a+2b=2+6c由a=7c-3， b=7-11c.a， b， c为 非 负 实 数 得 ， 则 有 于 是37 c 711 -57 m=3c-2 -111x= -57， y=， 故-111 xy=57715. 750 由 图 13 -2 得 ， 由 图 13 -3 得 ， 则 毛 利
12、 润y=1100x2 y= - 1100x+30 S=，当 时，S 最大. (30-1100x)x- 1100x2 x=75016. - 11 设 11 个 连 续 整 数 为 x-5， x-4， ， x， ， x+4， x+5. 根据 题 意 得y2=(x-5)2+(x-4)2+x2+(x+4)2+(x+5)2=11(x2+10)，要 使 为 平 方 数 ， 且 最 小 ， 只 能 取 ， 这 时 .所11(x2+10) y2 x2=1 y2=112以 y最小 = -11.17. 20 因 为 抛 物 线 都 与 x 轴y=x2+ax+2b， y=x2+2bx+a有 公 共 点 ， 所 以
13、由 得 ， 由 得 1=a2-8b 0 2=4b2-4a 0 a2 8b， 所 以 又 因 为 a 为 正 数 ， 则b2 a a4 64b2 64a.所 以 又 因 为 当a 4， b2 a 4， a2+b2 16+4=20.时 ， a=4， b=2抛 物 线 都 与 x 轴 有 公 共 点 ， 所y=x2+ax+2b， y=x2+2+a以 的 最 小 值 为 20. a2+b218.由 得 =(-4m)2-42(2m2+3m-2) 0m 23， x1+x2=2m， x1x2=.因 为 当 时 ， . 的 值 随 x增 大 而 减 小 ， 所 以 当2m2+3m-23 ， x21+x22=2
14、(m-34)2+78 x6 x= -m2 -3 x -1 x= -3ymin=； 当 时 ， 9-2m x= -1 ymax=1.当 ， 即 时 ， 在 的 右 侧 ， 则 时 ， -m2 1 m 2 x= -m2 -3 x -1 x= -1ymin=当 时， 1 x= -3 ymax=9-2m.24.(1) y=0.4x， yB= -0.2x2+1.6x(2)设 投 资 B 种 商 品 x 万 元 ， 则 投 资 A 种 商 品 (10 -x)万 元 ， 获 得 利 润 W 万 元 ，根 据 题 意 可 得 所 以w= -0.2x2+1.6x+0.4(10-x)= -0.2x2+1.2x+4
15、，当 投 资 B 种 商 品 3 万 元 时 ， 可 以 获 得 最 大 利 润 5.8 万 元 ，= -0.2(x-3)2+5.8.所 以 投 资 A 种 商 品 7 万 元 ， B 种 商 品 3 万 元 ， 这 样 投 资 可 以 获 得 最 大 利 润 5.8 万元 . 25.(1)解 方 程 组 得y= -x2-3x+4y=x2-3x-4 x1= -2y1=6 所 以 点 A， B的 坐 标 分 别 是 （ -2， 6） ， （ 2， -6） .于 是， x2=2y2 .AB= (2+2)2+(-6-6)2=410.x=-m2x=-m2(2)如 图 1-9 所 示 ， 当 轴 时 ， 设
