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1、4. 欧氏环 3.1 定义及例 3.2 主要结论 3.3 两个重要唯一分解环 3.4 小结3.1 定义在整数环和数域上一元多项式环中,带余除法起着重要的作 用,这个定理在一般的整环中并不成立,例如:二元多项式环. 因此, 需要定义可以做“带余除法”的环.定义 一个整环R叫做一个欧氏环，假如（）存在一个映射 (非零元所作成的集合) （）给定了 的一个不等于零的元a， 的任何元 b 都可 以写成的形式，这里: 或是例1 整数环是一个欧氏。因为：是一个适合条件（）的映射。给了整数 ，任何整数 b是可以写成的形式，这里 。3.2 主要结论定理 1 任何欧氏R一定是一个主理想环，因而一定是一个唯 一分解
2、环。证明 我们看R的任一个理想A, 我们需要证明A是一个主理想。如果A=0, 它是一个主理想(0)如果 包含不等于零的元。由欧氏环的定义，存在一 个映射 ，在这个映射之下A的每一个不等于零的元 有一个 象 ，那么 是N的非空子集, 中一定有一个最 小的(?)，因此我们可以找到A的一个不等于零的元a，使得对 于A的任何不等于零的元 来说，都有再一次欧氏环的定义，A的每一个元b都可以写成的形式，这里因为a和b都属于A， 也属于A。若是 ，那么有一个不等于零的元 r ，适合条件与a的取法矛盾。这样，3.3两个重要唯一分解环由于上面的例同这个定理我们立刻有：定理 2 整数环是一个主理想环，因而是一个唯
3、一分解环。另一中常见的欧氏环就是一个域上的多项式环。我们先 证明一个引理。引理 假定 是整环R上的一元多项式环， 的元 的最高系数 是R的一个单位 。那么 的任意多项式 都可以写成的形式，这里或是 或是 的次数小于 的次数n。证明 (带余乘法的实施: 逐步消去最高项)若 是或是 的次数小于n，那么我们取就行了。 假定 ，我们取 ，那 么或 的次数小于m。假定 或是 的次数 已经小于n，那么取 就行了。假如 的次数还大 于n，用同样的方法我们可以得到或是 的次数小于 。这样下去，我们总可以得 到或是 的次数小于n。证完。由这个引理我们很容易证明定理 3 一个域上的一元多项式环是一个欧氏环。证明 利用多项式的次数我们显然可以规定一个合于条件的映 射，就是 域的每一个不等于零的元都是一个单位，所以由引理，每一个 都可以写成的形式，这里或是 或是 的次数小于 的次数n 。 证完。3.4 小结作业: P141: 1欧氏环 主理想环 唯一分解环反例1唯一分解环不是主理想环, 反例2主理想环不是欧氏环, 复杂, 不能引用到本书里来.
