第七章-地下水运动中的若干专门问题

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1、第七章 地下水运动中的若干专门问题 1 非饱和带的地下水运动 一、关于非饱和带水分的基本知识 1. 含水率，饱和度和田间持水量 包气带中的空隙，一部分被水充填，另一部分被空 气充填。 含水率()：表示单位积中水所占的体积， 典型单元体中水的体积 典型单元体的体积 饱和度(Sw)：岩石的空隙空间中被水占据部分所占的 比例。典型单元体中的空隙体积 含水率与饱和度的关系：=nSw 式中：n孔隙度。田间持水量：在长时间重力排水后仍然保留在土 中的水量。2.毛管压力 毛管压强：在多孔介质的孔隙中，液体和气体接 触是，二者存在压力差，这个压力差称毛管压强。 用pc表示。pc=pa-pw 式中： pa空气的

2、压强；pw水的压强。 毛管压强取决于界面的曲率，曲率愈大（液面愈弯 曲），毛管压强愈大。 以上毛管压强是以绝对压强为基准，如果以相对压 强为基准，这时有： pc=pa-pw -pa pc=-pw 毛管压强相对大气压强为负值。即，非饱和带孔隙 中的水处于小于大气压强的情况下。 非饱和带水流中任何点的水头 式中：z位置水头；hc=pc/r 毛管压力水头 H=z-hc3. 土壤水分特征的曲线 水分特征曲线：反映毛管压力水头hc(或毛管压强 pc)和土壤含水率(或饱和度Sw)关系的曲线。如图 ：随着含水率的减少， 毛管压力增加，当 含水率减小到某一 值时，压强继续增 大时，含水率不在 减小。相应的饱和

3、 度为： 影响特征曲线的因素：（1）不同质地的土 壤，其水分特征曲线 不同。一般说，土壤 的粘粒含量愈高。同 一负压条件下土壤的 含水率愈大，或者同 一含水率下其负压愈 高。这是因为，粘粒 含量增多。使土壤中 细小孔隙发育的缘故。 （2）土壤结构。如图，为一砂壤土不同干容重的水 分特征曲线，在同一负压下，土壤愈密实（rc大）， 相应的含水率一般也 大。原因，土壤愈密 实，大孔隙数量减少 ，中小孔隙增多。（3）温度的影响。 温度升高，水的粘滞 性下降，所以表面张 力降低，在同样的负 压下，含水率要低一 些。 （4）土壤水分变化过程的影响。对于同一土壤，土 壤脱湿（由湿变干）过程测得的水分特征曲线

4、不同， 如图，在相同的负压下，排水（脱湿）时的含水率要 大于吸湿时的含水率。这种现象称为滞后现象。（5）容水度：毛管压力 水头变化一个单位时，从 单位体积土中释放出的水 体积。数值上等于，水分 特征曲线的斜率的负倒数。它是含水率和毛管压强的 函数，可用C()或C(hc) 表示.二、非饱和带水运动的基本方程 1.运动方程非饱和带地下水的运动，也可以用达西定律描述 ，这时的渗透系数是变化的，与含水率和毛细压 力水头hc有关，是和hc的函数，其关系如图，随着 含水率的增大，渗透系数 增大，随毛管压力水头 的减小，渗透系数增大。 在非饱和带中， Darcy定律的表达式为： v在三个坐标轴的分量为： 2

5、. 基本微分方程 第一章推得渗流连续性方程，如下：在饱水带中，全部孔隙被水充满，等式右端用孔 隙度，在非饱和带中，部分孔隙被水充满，所以用 含水率取代n，并两边除xyz（近似为 常数），得：将vx、vy、vz代入上式，得： 二式为非饱和流的基本方程 3. 基本方程的几种形式（1）以含水率为因变量的表达式 将H换成，将H=z-hc代入上（1）式，得：上式进一步变换 定义 为扩散系数，得： 对于垂向一维流动，去掉前两项，得： z轴向上取正值，z轴向下取负值。 （2）以毛管压力水头为因变量得表达式： 将H=z-hc代入上（2）式，得：代入上式，得： 对于垂向一维流动，去掉前两项，得：z轴向上取正值，

6、z轴向下取负值。2 水动力弥散理论 用来模拟地下水中污染物和化学成分得运移过程 ，预测地下水污染得发展趋势。 一、水动力弥散现象及其机理 例1.在一口井中注入一种示踪剂，示踪剂在随地 下水向前流动得过程中，向外围扩散，形成一个以 中心点浓度最大，向四周浓度逐渐减小的过渡带， 并且随示踪剂迁移的距离增大，过渡带也越来越宽 。例2. 在均匀流的砂柱中，用含有示踪剂浓度为的 水去替代，在砂柱另一端测量示踪剂浓度，得曲线 如图。水在流动过程中并非一个突变界面，而是一 个过液带。这种现象称水动力弥散。 水动力弥散是机械弥散和分子扩散所引起的。1.机械弥散 液体在多孔介质中运动的三种情况：（1）由于 液体

7、粘性的作用和结合水的摩擦阻力，使得靠近孔 隙壁的水流速度趋于零，孔隙中心部位流速最大； （2）由于孔隙大小不一，造成不同孔隙之间沿轴 部的最大流速有差异；（3）由于空隙的弯弯曲曲 ，水流方向也随之不断地改变。 由于上述三种情况，造成了地下水质点运动速度 ，在大小和方向上的不均一，造成了示踪剂有的运 动快，有的运动慢，从而形成了上述过渡带。这种 由于速度不均一所造成的这种物质运移现象称为机 械弥散。 2. 分子扩散溶质有由浓度高向浓度低的地方运移的性质，以 求浓度趋于均一。这种由于液体中所含溶质的浓度 不均一而引起的物质运移现象叫分子扩散。 分子扩散服从Fick定律：式中：Is单位时间内通过单位

8、面积的溶质的质量；dc/ds溶质在溶液中的浓度c沿s方向变化的 浓度梯度； Dd扩散系数。 机械弥散和分子扩散是同时出现的，当流速较大 时，机械弥散是主要的；当流速甚小时，分子扩散 的作用就变得明显。水动力弥散还分为沿水流方向和垂直于水流方向 的弥散，沿水流方向的弥散称纵向弥散，垂直水流 方向的弥散称横向弥散。二、水动力弥散系数 分子扩散服从Fick定律：为分子扩散系数； 为由于分子扩散在单位时 间内通过单位面积的溶质质量。机械弥散也服从定律：为机械扩散系数； 为由于机械扩散在单位时 间内通过单位面积的溶质质量。由于水动力弥散是分子弥散和机械扩散共同作用 的，定义水动力弥散系数： 水动力弥散定

9、律如下： 式中：I单位时间内通过面积的溶质质量；D水动力弥散系数；dc/ds浓度梯度。 如果取x方向与流速方向一致，y轴和z轴与 流速方向垂直，上式可用下式表示：Dxx纵向弥撒系数（平行于水流方向）； Dyy、Dzz横向弥撒系数（垂直于水流方向） 。三、对流弥散方程及其定解条件 如图，以渗流区内任一点为中心，取一无限小的六 面体单元，各边长为x、y、z，选择x轴与P点 处的平均流速方向一致。（即纵向弥散方向为轴方向 ） 在对流弥散问题中， 包括两个子问题：其一， 溶质随地下水的流动或 流出单元体；其二，溶 质通过自身的弥散流入 或流出单元体。 水动力弥散引起的物质运移：设，沿x轴方向溶质的质量

10、变化率为 ，如果假设 Ix为在abcd面上，单位时间内通过单位面积溶质的质 量，那么，t时间内通过面流入单元体的溶质质量 为： Ixnyzt因为沿x轴方向溶质的质量变化率为 ，经距离 x后，变化 了，所以，t时间内，通过abcd面流出单元体的溶质质量为： 所以，沿轴方向流入与流出单元体的溶质质量差为： 同理，沿y轴方向和z轴方向流入与流出单元体的溶 质质量差为：所以，通过弥散单元体内溶质质量的变化为： 随地下水流的物质运移：设沿x轴方向，在abcd面地下水的流速为vx，则单 位时间通过abcd面单位面积流入单元体的水量为vx 11，流入的溶质质量为vxc：（c为溶质的浓度 ），那么，在时间内流

11、入面溶质量为：vxcyzt设沿x方向，通过单位面积溶质质量的变化率为： 经x距离的变化量为：在abcd面，单位时间单位面积流出单元 体的溶质质量为： 在t时间内流出面的溶质质量为： 所以，沿x轴方向流入与流出单元体的溶质的质量 差为： 同理，沿y轴和z轴方向流入与流出单元体的溶质 质量差为： 所以，随地下水流流入与流出单元体的溶质质量 差为： t时间内，流入和流出单元体总的溶质质量差为：设单元体内溶质浓度随时间的变化率为: t时间内单元体内体积溶质浓度变化量为：所以，t时间内单元体内溶质质量变化量为： 上述二量应相等，并消去xyzt，得：代入上式，并两边同除以n，则得：式中：ux、uy、uz为

12、实际流速。 上式为对流弥散方程。如果有其它源、汇项时，并设单位时间单位体积含 水层内由源、汇引起的溶质质量的变化量为f。在上 式的左边加一项f即可。 关于溶质运移的数学模型除微分方程外，还应有 定解条件：初始条件：初始时刻的浓度分布。表达式如下： C(x，y，z，0)= C0(x，y，z)边界条件：有两类。一类是已知浓度的边界条件(一类边界条件)，表 示如下： 1表示一类边界。 另一类是通量边界，即单位时间内通过单位边界 面积的溶质质量已知(二类边界条件)。如： 隔水边界： 补给边界：所以，要确定一个水动力弥散问题的解，即求得 浓度的分布，要给出下列信息：（1）微分方程；（2）研究空间区域和时

13、间区域0，T；（3）研究区域水头场的分布；（4）有关参数，如弥散度L和T等；（5）定解条件。 四、一维弥散问题解 设投放示踪剂前，含水层中示踪剂的浓度为0，然 后在河渠中连续注入浓度为C0的示踪剂。在均匀流情 况下，ux=u为常数。如图。 （1）数学模型： 定解问题的解：当 时，上解可近似为： （2）利用实验资料求纵向弥散系数 有一个观测孔时，观测孔距河渠距离x已知，在观 孔中可测得不同时刻的Ci，从而可求得Ci/C0。 求参步骤： 据试验资料作Ci/C0t关系曲线，如图。 在图上找出 Ci/C0为0.84和0.16二点， 并读出其横坐标t0.84和 t0.16 。 代入下式求纵向弥 散系数

14、u地下水实际流速 。3 海岸带含水层中的咸淡水界面 天然条件下，在海岸带含水层中的地下水一般是流 向海的，由于海水比淡水的比重大，海水体将位于淡 水体的下方，呈楔型，并处于平衡状态，如图。 当在海岸边抽取淡水时，这时淡水的水位下降，打 破了原来的平衡，引起海水向内陆的入侵，以达到新 的平衡，这时界面向陆地推进。该现象为海水入侵。 海水与淡水是可以溶混的，由于水动力弥散 ，在海水与淡水之间形成了一个过渡带，在 过渡带中地下水的矿化度由小变大，直到海 水矿化度。过渡带的宽度在不同的地区，其宽度不同 ，当其宽度较小，且与含水层的厚度相比较 小时，可以认为海水与淡水之间是一突变界 面；否则宽度较宽时，

15、则作为水动力弥散问 题加以研究。一、作突变界面处理静止界面的近似解 当淡水和海水处于一种平衡状态时，界面是静止 的，如图，假设淡水的容重为rf，海水的容重为rs。 在界面上的点A，受海水的压力为：shs 在界面上的点A，受淡水的压力为：f（hs+hf） 此二压力应相等： f（hs+hf）= shs 解得：令则：hs=hf一般海水密度为1.025g/cm3，容重 s=10045N/m3，淡水密度为1.000g/cm3，容重 s=9800N/m3 。代入可求得：=40 hs=40hf说明：在离海岸任一距离上，稳定界面在 海面以下的深度为该处淡水高出海面的40倍 。 以上仅是一种近似解法。 二、确定

16、界面的形状及海水入侵的范围（1）厚度固定的水平承压含水层中的界面问题 水流是稳定流，如图，设，原点位于坡脚(G点)， x轴的正向指向海。含水层厚度为M，承压水头为H， 假设地下水为水平流，忽略垂向分速度。由Darcy定 律，有： K=Kf (Kf含水层中 淡水的渗透系数) H=Hf (Hf含水层 中淡水的水头)由前面知，hs=d+h(x) hs=H d+h (x)= H 两边对x求导，得： 代入上式得： 对上式整理得： 两边积分，得： 当x=0时，h(x)=M，代入上式得： 代入上式得： 此式表明界面得形状是一条抛物线。利用此式可 确定x处的h(x)。另外，由d+h (x)= H得：h (x)=H-d 代入（1）式得： 两边积分，得： 当x=0时