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1、 复习课一、复习：1、相似三角形的定义是什么？答：对应角相等， 对应边成比例 的两个三角形叫做相似三角形. 2、判定两个三角形相似有哪些方法？ 答： A、用定义； B、用预备定理； C、用判定定理1、2、3. D、直角三角形相似的判定定理3、相似三角形有哪些性质1、对应角相等，对应边成比例 2、对应角平分线、对应中线、对 应高线、对应周长的比都等于相似 比。 3、相似三角形面积的比等于相似 比的平方。一.填空选择题:1.(1) ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AED= B，那么 AED ABC，从而(2) ABC中，AB的中点为E，AC的中点为D，连结ED ， 则 AED与 ABC的
2、相似比为_.2.如图，DEBC, AD:DB=2:3, 则 AED和 ABC的相似比为.3. 已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙 的最大边为10cm， 则三角形乙的最短边为_cm.4.等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在腰AC上 取点D, 使ABC BDC, 则DC=_.AC2:552cm1:25. 如图，ADE ACB,则DE:BC=_ 。6. 如图，D是ABC一边BC上一点，连接AD,使 ABC DBA的条件是（ ） .A. AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:ADC. AB2=CDBCD. AB2=BDBC7. D、E分别为ABC 的AB、
3、AC上的点，且DEBC，DCB= A，把每两个相似的三角形称为一组，那么图中共有相似三角形_组。1:3D4二、证明题： 1. D为ABC中AB边上一点，ACD= ABC.求证：AC2=ADAB.2. ABC中, BAC是直角，过斜边中点M而垂直于斜边BC的直线交CA的延长线于E，交AB于D，连AM.求证： MAD MEA AM2=MD ME3. 如图，ABCD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E，求证：ED2=EO EC.4. 过ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边BC、边DC的延长线于E、F、G . 求证：EA2 = EF EG .5. ABC为锐角三角形，BD、CE为高 .
4、求证： ADE ABC（用两种方法证明）.6. 已知在ABC中，BAC=90，ADBC,E是AC的中点，ED交AB的延长线于F.求证: AB:AC=DF:AF.解:AED=B, A=AAED ABC（两角对应相等，两三角形相似）1.(1) ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AED= B，那么 AED ABC，从而解 :D、E分别为AB、AC的中点DEBC，且 ADEABC即ADE与ABC的相似比为1:2 (2) ABC中，AB的中点为D，AC的中点为E，连结DE ， 则 ADE与 ABC的相似比为_2.解: DEBCADEABCAD:DB=2:3DB:AD=3:2(DB+AD):AD=
5、(2+3):3即 AB:AD=5:2AD:AB=2:5即ADE与ABC的相似比为2:5 如图，DEBC, AD:DB=2:3, 则 AED和 ABC 的相似比为.3.已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙 的最大边为10cm， 则三角形乙的最短边为_cm.解: 设三角形甲为ABC ，三角形乙为 DEF，且DEF的最大边为DE，最短边为EF DEFABC DE:EF=6:3即 10:EF=6:3 EF=5cm4.等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在 腰AC上取点D, 使ABC BDC, 则DC=_.解: ABC BDC即 DC=2cm5.解: ADEACB且如图，
6、ADE ACB, 则DE:BC=_ 。7. D、E分别为ABC 的AB、AC上的点，DEBC，DCB= A，把每两个相似的三角形称为一组，那么图中共有相似三角形_组。 解: DEBCADE= B,EDC=DCB=A DEBCADE ABC A= DCB, ADE= BADE CBD ADE ABC ADE CBD ABC CBD DCA= DCE, A= EDC ADC DEC1. D为ABC中AB边上一点，ACD= ABC.求证：AC2=ADAB 分析:要证明AC2=ADAB，需要先将乘积式改写为比例式 ，再证明AC、AD、AB所在的两个三角形相似。由已知两个三角形有二个角对应相等，所以两三
7、角形相似，本题可证。证明: ACD= ABCA = A ABC ACD AC2=ADAB2. ABC中， BAC是直角，过斜边中点M而垂直于 斜边BC的直线交CA的延长线于E， 交AB于D，连AM.求证： MAD MEA AM2=MD ME分析：已知中与线段有关的条件仅有 AM=BC/2=BM=MC,所以首先考虑用 两个角对应相等去判定两个三角形相 似。AM是 MAD 与 MEA 的公共 边，故是对应边MD、ME的比例中项 。证明：BAC=90M为斜边BC中点AM=BM=BC/2 B= MAD 又 B+ BDM=90E+ ADE= 90BDM= ADEB=E MAD= E 又 DMA= AME
8、 MAD MEA MAD MEA即AM2=MDME3. 如图，ABCD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E，求证：ED2=EO EC. 分析：欲证 ED2=EOEC，即证 ：，只需证DE、EO、EC所在的三角形相似。 证明： ABCD C=A AO=OB，DF=FB A= B， B= FDB C= FDB又 DEO= DEC EDCEOD ，即 ED2=EO EC4. 过ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边 BC、边DC的延长线于E、F、G . 求证：EA2 = EF EG . 分析：要证明 EA2 = EF EG ，即 证明 成立，而EA、EG、EF三 条线段在同一直线上，
9、无法构成两个三角形， 此时应采用换线段、换 比例的方法。可证明： AEDFEB， AEB GED.证明： ADBF ABBCAED FEB AEB GED5. ABC为锐角三角形，BD、CE为高 . 求证： ADE ABC（用两种方法证明）.证明一：BDAC，CEABABD+A=90， ACE+A= 90 ABD= ACE又 A= A ABD ACE A= A ADE ABC证明二： BEO= CDO BOE=COD BOE COD 即 又 BOC= EOD BOC EOD 1= 2 1+ BCD=90，2+ 3= 90 BCD= 3又 A= A ADE ABC6. 已知在ABC中，BAC=9
10、0，ADBC，E是AC的 中点，ED交AB的延长线于F. 求证: AB:AC=DF:AF.分析：因ABCABD，所以， 要证 即证 ，需证BDFDAF.证明： BAC=90ADBC ABC+C= 90ABC+BAD= 90 BAD= C ADC= 90E是AC的中点， ED=EC EDC= C EDC = BDF BDF= C= BAD 又 F =F BDFDAF. BAC=90， ADBC ABCABD 1.已知：如图，ABC中，P是AB边上的一点，连 结CP满足什么条件时 ACPABC解:A= A，当1= ACB （或2= B） 时， ACPABC A= A，当AC:APAB:AC时， A
11、CPABC A= A，当4ACB180时， ACPABC答：当1= ACB 或2= B 或AC:APAB:AC或 4ACB180时, ACPABC.APBC1 241、条件探索型三、探索题2.如图：已知ABCCDB90，ACa， BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时 ，两三角形相似DABCab解: 1D90当 时，即当 时，ABC CDB, 1D90当 时，即当 时，ABC BDC， 答：略.这类题型结论是明确的，而需要完备使 结论成立的条件 解题思路是：从给定结论出发，通过逆向思 考寻求使结论成立的条件 1.将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子， 假设图形中的所有点、线都在
12、同一平面内，则图中有相 似（不包括全等）三角形吗？如有，把它们一 一写出来 .C解：有相似三角形，它们是： ADE BAE, BAE CDA ，ADE CDA（ ADE BAE CDA）2、结论探索型ABDEGF22.在ABC中，ABAC，过AB上一点D作直线DE 交另一边于E，使所得三角形与原三角形相似 ，画出满足条件的图形.E DABCDABCDABCDABCEEE这类题型的特征是有条件而无结论，要确定 这些条件下可能出现的结论 解题思路是： 从所给条件出发，通过分析、比较、猜想、寻求 多种解法和结论，再进行证明. 3、存在探索型如图, DE是ABC的中位线，在射线AF上是否存 在点M，使MEC与ADE相似,若存在,请先确定点 M,再证明这两个三角形相似，若不存在，请说明理由.ADBCEF证明：连结MC， DE是ABC的中位线， DEBC，AEEC， 又MEAC, AMCM， 1= 2 ， B=90， 4 B= 90， AF BC，AM DE, 1= 2 ， 3= 2 , ADE ME
