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1、 第二章 平面问题的基本理论胡 衡武汉大学土木建筑工程学院弹 性 力 学 及 有 限 元二零零八年五月平 面 应 力 问 题平面应力问题：设有很薄的等厚度板，只在板边上受有 平行于板面且不沿厚度变化的面力或约束，同时体力也 平行于板面且不沿厚度变化。xyzh平 面 应 变 问 题平面应变问题：设有很长的柱形体，它的横截面不沿长 度变化，在柱面上受有平行于横截面而且不沿长度变化 的面力或约束，同时体力也平行于横截面且不沿长度变 化。xyz物 理 方 程这里，E为弹性模量，G为剪切模量，泊松系数，且有 如下关系：平面应力问题的物理方程注：平面应力状态中，垂直于平面方向上的正应变 不为零。平面应变问
2、题的物理方程注：平面应变状态中，垂直于平面方向上的正应力 不为零。平 衡 微 分 方 程 (1)oxyc平 衡 微 分 方 程 (2)X 方向力平衡：c再 证 剪 应 力 互 等对c点力矩平衡：c几 何 方 程PABPABoxy刚 体 位 移Poxy平 面 问 题 小 结平面问题的基本方程：1. 三个物理方程2. 三个几何方程3. 两个平衡方程平面问题中的未知函数：1. 三个应力分量2. 三个应变分量3. 两个位移分量平面问题中一点的应力状态PABoxyx方向力平衡：y方向力平衡：求得 ：同理：主 应 力 及 其 方 向PABoxy在应力主面上，全应力等于主应力 ，因此：最大正应力与最大剪应力
3、莫尔圆推导应力状态公式2O. Mohr, 德国人，1835-1918。边 界 条 件位移边界条件：应力边界条件：混合条件：在位移约束 面上：在应力约束 面上：位移约束与应力约束的组合。设 面法线与x轴正向夹角 的余玄为l，与y轴正向夹角 的余玄为m。边 界 条 件 举 例xyxyqp圣维南原理及其应用圣维南（Adhmar Jean Claude Barr de Saint-Venant，1797 1886）原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变 换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一 点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著改变， 但是远处所受的影响可以忽略不计。FFFFF
4、/2FF/2F/AFF/AF/AF圣 维 南 原 理 推 广如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢 量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处发 生显著的应力，而远处可以不计。圣 维 南 原 理 应 用xyh/2h/2严格边界条件运用圣维南原理的边界条件ll用位移法与应力法求解平面问题位移法：以位移为基本未知函数，从方程和边界条件中 消去应力分量和形变分量，导出只含位移分量的方程和 相应的边界条件，并由此解出位移分量，然后再求出形 变分量和应力分量。应力法：以应力分量为基本未知函数，从方程和边界条 件中消去位移分量和形变分量，导出只含应力分量的方 程和相应的边界条件，并由此解出位
5、移分量，然后再求 出形变分量和位移分量。 注：课堂上只推导平面应力问题的求解方法，至于平面 应变问题，只需要在推导结果上稍作改变，即将结果中 ：换为换为按位移求解平面应力问题(1) 用应变表达应力（物理方程）按位移求解平面应力问题(2) 用位移表达应变（几何方程）按位移求解平面应力问题(3) 平衡方程按位移求解平面应力问题(4) 边界条件按位移求解平面应力问题(5) 小结按位移求解平面问题需要：1. 位移分量满足微分方程：2.边界条件：按位移求解平面问题(5) 举例y=hgxy按位移求解平面问题(6) 举例y=hgxy按应力求解平面应力问题(1) 用位移表达应变（几何方程）形变协调方程或相容方
6、程连续体的形变分量不是相互独立的，它们之间必须满足 相容方程，才能保证真实的位移分量存在。按应力求解平面应力问题(2) 相容方程的运用设有应变分量：显然其不满足协调方程。按应力求解平面应力问题(3) 用应力表达应变（物理方程）用应力表达应变并代入形变协调方程：得到：按应力求解平面应力问题(4) 平衡方程代入下式消去剪应力：得到：按应力求解平面应力问题(5) 小结按应力求解平面问题需要：3.应力分量满足边界条件和或位移单值条件：2.应力分量满足形变协调方程：1.应力分量满足平衡微分方程：按应力求解平面应力问题(6) 例题y=hgxy常体力情况下的简化（1） 应力调和方程常体力拉普拉斯（Lapla
7、ce，Pierre-Simon，17491827）方 程，即调和方程。当体力为常量时，在单连体的应力边界问题中，如果两 个弹性体的边界形状以及受力分布相同，那么它们平面 内的应力分布相同。常体力情况下的简化（2） 求解平衡方程平衡方程应力调和方程所求的应力函数必须满足以下方程：其中 式的解为 式的通解加上 式的特解：常体力情况下的简化（3） 平衡方程的特解特解一：特解二：特解三：常体力情况下的简化（4） 平衡方程的通解因此，由 中第一式 ：由 中第二式：剪应力相等：则有：最后得到：艾里George Airy (1801-1892)应力函 数常体力情况下的简化（5） 平衡方程的解通解特解常体力情况下的简化（6） 艾里应力函数表示的相容方程应力调和方程 代入得到：简写为：常体力情况下的平面问题常体力情况下的平面问题需要满足：1.艾里应力函数表示的相容方程：2.边界条件3.位移单值条件
