大学文科数学_2011_1.1

《大学文科数学_2011_1.1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学文科数学_2011_1.1（63页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第一章 微积分1.1 函数上页 下页 返回 结束 1.1 函数主要教学内容：函数的概念、分段函数由已知函数产生新函数 函数的性态其他函数举例上页 下页 返回 结束 u函数的概念n映射 映射是集合间的对应关系1.1 函数上页 下页 返回 结束 1.1 函数u函数的定义定义：设X与Y都是R的子集合，对于X中的每个元素（即数） x,按照一个确定的规则（记作f）惟一对应着Y 的一个元 素y,常记作称f是集合X到集合Y的函数，记作x与y分别称为自变量与因变量，y=f(x)称为函数f在x处的值 。X称为定义域，记为 ,f(X)=y|y=f(x),xX称为函数f的值域,记为 。 注：两个基本（本质）要素对应

2、规则；定义域。非本质要素x，y，f 这些字母。上页 下页 返回 结束 1.1 函数u2 分段函数 定义：若函数f定义域被分成若干区间，在各 区间上f的对应规则表达方式不同，则称f为分段 函数。 例：1996年起，天津市人民政府根据国家规定与天 津市的实际情况制定了个人所得税征收标准，其 计算办法如下表所列。试建立每月个人应交纳的 税款y与月收入x间的函数关系。上页 下页 返回 结束 1.1 函数级数全月收入额x（元）税率（%）速算扣除数（元）11000x150050215001010004515375计算公式：月收入不超过1000元的不交个人所得税；月收入超过1000元的应纳税额=（月收入额-

3、1000）x适用税率速算扣除数 。上页 下页 返回 结束 1.1函数u解 根据上表可得函数 的表达式为：上页 下页 返回 结束 1.1 函数u其定义域为 ，其图形如下图所示,是由斜 率不同的9条线段与一条射线组成：上页 下页 返回 结束 1.1 函数u例 旅客行李收费规定，不超过20kg者免运费， 超出20kg时，每超过1kg加收2元。试把运费P写成 行李重量w的函数。解：u上面区间也可写成 和 .上页 下页 返回 结束 1.1 函数u区间的记法：开区间：闭区间： ，半开半闭区间： 上页 下页 返回 结束 1.1 函数u取整函数 表示不超过x的最大整数。 如 3.14=3, -3.14=- 4

4、。 函数表达式为：上页 下页 返回 结束 1.1 函数u取整函数 的图像：-3-2-1-41234-4-3-2-11234上页 下页 返回 结束 1.1 函数u数列 以正整数为定义域的函数，再按照 项数n的顺序排列起来。例：1，3，5，7，9，11， . . . . . .14关于斐波那契数列 我们先来做一个游戏！15十秒钟加数u请用十秒，计算出 左边一列数的和。1 2 3 5 8 13 21 34 55 +89 ?时间到！答案是 231。16十秒钟加数u再来一次！34 55 89 144 233 377 610 987 1597 +2584 ?时间到！答案是 6710。17这与“斐波那契数列

5、”有关u若一个数列，前两项等于1，而从第三项起，每一项是其前两项之和，则称该数列为斐波那契数列。即：1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 18一、兔子问题和斐波那契数列1 兔子问题1） 问题取自意大利数学家斐波那契的算盘书（1202年）(L.Fibonacci,1170-1250）19兔子问题假设一对初生兔子要一个月才到成熟 期，而一对成熟兔子每月会生一对兔子， 那么，由一对初生兔子开始，12 个月后会 有多少对兔子呢？20解答1 月 1 对21解答1 月 1 对 2 月 1 对22解答1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对23解答1 月 1 对 2 月 1 对 3

6、 月 2 对 4 月 3 对24解答1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对 4 月 3 对 5 月 5 对25解答1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对 4 月 3 对 5 月 5 对 6 月 8 对26解答1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对 4 月 3 对 5 月 5 对 6 月 8 对 7 月13 对27解答u可以将结果以列表形式给出：1月2月3月5月4月6月7月8月9月11月10月12月1123581321345589144因此，斐波那契问题的答案是 144对。以上数列， 即“斐波那契数列”28兔子问题的另外一种提法：第一个月是一对大兔子，类似繁殖；到第十二

7、个月时，共有多少对兔子？月 份 大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144小兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89到十二月时有大兔子144对，小兔子89对， 共有兔子144+89=233对。 （三点规律）规律292 斐波那契数列1） 公式用 表示第 个月大兔子的对数，则有二阶递推公式 （ “一阶”、“二阶”）302） 斐波那契数列令 n = 1, 2, 3, 依次写出数列，就是 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，这就是斐波那契数列。其中的任一个数，都叫斐波那契数。31向日葵花盘内葵花子排列的螺线数

8、3233向日葵花盘内，种子是按对数螺线排列的，有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线。两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数，一般是34和55，大向日葵是89和144，还曾发现过一个更大的向日葵有144和233条螺线，它们都是相继的两个斐波那契数。34松果种子的排列35松果种子的排列36松果种子的排列37菜花表面排列的螺线数（5-8）38这一模式几个世纪前已被注意到，此后曾被广泛研究，但真正满意的解释直到1993年才给出。这种解释是：这是植物生长的动力学特性造成的；相邻器官原基之间的夹角 是黄金角137.50776度；这使种子的堆集效率达到最高。39“十秒钟加数”的秘密u数学家发现：连续 10个

9、斐波 那契数之和，必定等于第 7个 数的 11 倍！1 2 3 5 8 13 21 34 55 +89 ?所以右式的答案是： 21 11 = 23140“十秒钟加数”的秘密u又例如：右式的答案是：34 55 89 144 233 377 610 987 1597 +2584 ?610 11 = 6710上页 下页 返回 结束 1.1 函数u由已知函数产生新函数u1.函数的四则运算设 为两个函数，则有上页 下页 返回 结束 1.1 函数u例 给定函数：则有以下四个新的函数：上页 下页 返回 结束 1.1 函数u2.复合函数u定义： 给定函数 ,则 与 的复 合函数是 即 ，其中 称为中间变量。u

10、注：并非任何两个函数都能复合，只有 时才 能 与 复合，若 ，为了形成复合函数，必 须缩小 的定义域，使其值域相应缩小以满足上述 要求。也可以多层次复合，从而有多个中间变量。上页 下页 返回 结束 1.1 函数u例子 函数 显然 ，为求复合函数的定义域，先求出 再由 ，即 解得 ，即函数 的定 义域为 。上页 下页 返回 结束 1.1 函数u例1.1.6 试分析函数 是由哪几个函 数复合而成的，并求其定义域。解 函数为 ，因故定义域为： 。 上页 下页 返回 结束 1.1 函数u例1.1.8 设 ，求 。解 由于令 ，即 ，得 将上式中的 换成 ，既得 注：上述方法称为变量代换。 .上页 下页

11、 返回 结束 1.1 函数u3 反函数u例 指数函数 与对数函数 的关 系:它们的图像如下：y =2xOxy上页 下页 返回 结束 1.1 函数u定义 设函数 若对每一 按对应规律 有唯一的 与之对应，反之每一 也有惟一的 使得 则称函数 是一一对应。定义 若函数 是一一对应，则称反过来 的对应为 的反函数，记作也记为49讨论“个数”时，“一一对应”是关键u一个集合中元素的个数u两个集合中元素的个数是否相等（“点名”数空座；大足石刻的千手观音有多少只手，贴金箔，1007）u推广到无限集合时，仍然用“一一对应”的观点50“十进制”的产生u用人的十个手指头与所数若干物体“一一对应”。51大足石刻千

12、手观音52讨论“个数”时，“一一对应”是关键u一个集合中元素的个数u两个集合中元素的个数是否相等（“点名”数空座；大足石刻的千手观音有多少只手，贴金箔，1007）u推广到无限集合时，仍然用“一一对应”的观点上页 下页 返回 结束 1.1 函数u注：函数与其反函数的图像关于直线 对称。u例1.1.9考虑函数 其值域是 此函数不是一一对应。为构造反函数需要缩小定义域为 以使得其为一一对应：得到的反函数为：上页 下页 返回 结束 1.1 函数u例子 1.1.10 求 的反函数。解 函数的定义域为由函数 解出改写为 写出给定函数的值域即反函数的定义域：上页 下页 返回 结束 1.1 函数u初等函数u基

13、本初等函数（见书中17页列表）。初等函数：有限个基本初等函数通过有限次四则运算或 复合得到的函数。例1.1.11 求初等函数 的定义域。解 的定义域为的定义域为故给定函数的定义域为交集：上页 下页 返回 结束 1.1 函数u1.1.3函数的性态u1.函数的奇偶性定义 设函数 的定义域 关于原点对称，即若 ，则称 为偶函数；若 ，则称 为奇函数。u奇函数 奇函数=奇函数；偶函数 偶函数=偶函数；u奇函数 （或 ）奇函数=偶函数；u偶函数 （或 ）偶函数=偶函数；u奇函数 （或 ）偶函数奇函数. 上页 下页 返回 结束 1.1 函数u例子1.1.12 判定函数 是奇函数、偶函数、还是非奇非偶函数。解 因故该函数为奇函数。上页 下页 返回 结束 1.1 函数u2.函数的周期性u定义 给定函数 若存在常数 ，使得1）2）则称 为周期函数，满足上述条件的最小正数 称 为 的周期。例