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1、二阶微分方程的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题课 (二)二、微分方程的应用 解法及应用 (25) 一、两类二阶微分方程的解法 第十二章 一、两类二阶微分方程的解法 1. 可降阶微分方程的解法 降阶法令令逐次积分求解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 二阶线性微分方程的解法 常系数情形齐次非齐次代数法 欧拉方程练习题: P327 题 2 ; 3 (6) , (7) ;4(2)； 8机动 目录 上页 下页 返回 结束 解答提示P327 题2 求以为通解的微分方程 .提示: 由通解式可知特征方程的根为故特征方程为因此微分方程为P327 题3 求下列微分方程的通解提示: (6) 令则
2、方程变为机动 目录 上页 下页 返回 结束 特征根:齐次方程通解:令非齐次方程特解为代入方程可得思 考若 (7) 中非齐次项改为提示:原方程通解为特解设法有何变化 ?机动 目录 上页 下页 返回 结束 P327 题4(2) 求解提示: 令则方程变为积分得利用再解并利用定常数思考若问题改为求解则求解过程中得问开方时正负号如何确定?机动 目录 上页 下页 返回 结束 P327 题8 设函数在 r 0内满足拉普拉斯方程二阶可导, 且试将方程化为以 r 为自变量的常微分方程 , 并求 f (r) .提示:利用对称性, 即( 欧拉方程 )原方程可化为机动 目录 上页 下页 返回 结束 解初值问题:则原方
3、程化为 通解: 利用初始条件得特解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 特征根 :例1. 求微分方程提示:故通解为满足条件解满足处连续且可微的解.设特解 :代入方程定 A, B, 得得机动 目录 上页 下页 返回 结束 处的衔接条件可知,解满足故所求解为其通解:定解问题的解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2.且满足方程提示: 则问题化为解初值问题:最后求得机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: 设提示: 对积分换元 ,则有解初值问题: 答案:机动 目录 上页 下页 返回 结束 的解. 例3.设函数内具有连续二阶导机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 试将 xx( y) 所满
4、足的微分方程 变换为 yy(x) 所满足的微分方程 ;(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 数, 且解: 上式两端对 x 求导, 得: (1) 由反函数的导数公式知(03考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入原微分方程得 (2) 方程的对应齐次方程的通解为 设的特解为 代入得 A0,从而得的通解: 题 目录 上页 下页 返回 结束 由初始条件 得故所求初值问题的解为 二、微分方程的应用 1 . 建立数学模型 列微分方程问题建立微分方程 ( 共性 )利用物理规律利用几何关系确定定解条件 ( 个性 )初始条件 边界条件可能还要衔接条件2 . 解微分方程问题3 . 分析解所包含的实际意义
5、机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 解:欲向宇宙发射一颗人造卫星, 为使其摆脱地球 引力, 初始速度应不小于第二宇宙速度, 试计算此速度. 设人造地球卫星质量为 m , 地球质量为 M , 卫星 的质心到地心的距离为 h , 由牛顿第二定律得: (G 为引力系数)则有初值问题: 又设卫星的初速度机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入原方程, 得两边积分得利用初始条件, 得因此注意到 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为使因为当h = R (在地面上) 时, 引力 = 重力, 即代入即得这说明第二宇宙速度为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求质点的运动规例5. 上的力 F 所作的
6、功与经过的时间 t 成正比 ( 比例系数提示:两边对 s 求导得:牛顿第二定律为 k), 开方如何定 + ?已知一质量为 m 的质点作直线运动, 作用在质点机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 一链条挂在一钉子上 , 启动时一端离钉子 8 m ,另一端离钉子 12 m , 如不计钉子对链条所产生的摩擦 力, 求链条滑下来所需的时间 .解: 建立坐标系如图. 设在时刻 t , 链条较长一段下垂 x m , 又设链条线密度为常数此时链条受力由牛顿第二定律, 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 由初始条件得故定解问题的解为解得当 x = 20 m 时,(s)微分方程通解: 思考: 若摩擦力为
7、链条 1 m 长的重量 , 定解问题的数学模型是什么 ?机动 目录 上页 下页 返回 结束 摩擦力为链条 1 m 长的重量 时的数学模型为不考虑摩擦力时的数学模型为此时链条滑下来 所需时间为机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习题从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测 要求, 需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函 数关系. 设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为 m, 体积为B , 海水比重为 ,仪器所受阻力与下沉速度成正 比 , 比例系数为 k ( k 0 ) , 试建立 y 与 v 所满足的微分 方程, 并求出函数关系式 y = y (v) . ( 95考研 )提示: 建立坐标系如图.质量 m 体积 B由牛顿第二定律重力浮力 阻力注意: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 初始条件为用分离变量法解上述初值问题得质量 m 体积 B作业 P317 5 , 6 ; P327 3 (8) ; 4 (2) ,(4) ; 8 . 得机动 目录 上页 下页 返回 结束
