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1、算 法 案 例(第一课时)孙子算经中的孙子问题秦九韶数书九章的“大衍求一术”45世纪中国剩余定理南宋时期意大利学者斐波那契的算术1202年欧拉发表关于同余式的解法高斯的巨著算术研究1734年1801年早500多年1、求两 个正整数的最大公约数（1）求25和 35的最大公约数 （2）求49和63的最大公约数 2、求8251和6105 的最大公约数 25（1） 5535749（2） 77639所以，25和35的最大公约数为 5所以，49和63的最大公约数为7 辗转相除法 （欧几里得算法）观察用辗 转相除法求8251和6105的最大公约数的过程 第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数 8
2、251=61051+2146结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和 6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。第二步 对6105和2146重复第一步的做法 6105=21462+1813 同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。 完整的过程8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0例2 用辗转相除法求225和135的最大公约数225=1351+90135=901+4590=452显然37
3、是148和37的最大公约 数，也就是8251和6105的最 大公约数 显然45是90和45的最大公约数，也就是 225和135的最大公约数 思考1：从上面的两个例子可以看出计 算的规律是什么？ S1：用大数除以小数S2：除数变成被除数，余数变成除数S3：重复S1，直到余数为0辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是 一个循环结构。8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0m = n q r用程序框图表示出右边的过程r=m MOD nm = nn = rr=0?
4、是否九章算术更相减损术 算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减 损，求其等也，以等数约之。第一步：任意给顶两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2 约简；若不是则执行第二步。第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并 以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个 等数就是所求的最大公约数。例3 用更相减损术求98与63的最大公约数解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减 986335 633528 35287 28721 21714 1477所以，98和63的最大公约数等于7 n欧几里得辗转相除法找出a,b的
5、最大公约数的步骤是:n（1）计算ab的余数r,若r=0,则b为a,b的最大公约数；n（2）若r=0,则把前面的除数b作为新的被除数,把r作为 新的除数,继续运算,直到余数为0,此时的除数即为a,b的 最大公约数.n更相减损术找出a,b的最大公约数的步骤是n（1）任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若 是，用2约简；若不是，执行第二步。n（2）以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所 得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所 得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公 约数。比较辗转相除法与更相减损术的区别 n（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转 相除法以除法为主，更相减损术以减法为主， 计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特 别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别 较明显。n（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现 结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术 则以减数与差相等而得到回顾反思 辗转相除法是当大数被小数除尽时，结束除法 运算，较小的数就是最大公约数更相减损术是当大数减去小数的差等于小数时 减法停止较小的数就是最大公约数求三个以上(含三个数)的数的最大公约数时， 可依次通过求两个数的最大公约数与第三数的 最大公约数来求得
