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1、运筹学 Operations Research第 1 章 线性规划模型和单纯形法 Linear Programming and Simplex Method1.1 LP的数学模型及标准型 1.2 图解法 1.3 单纯形法1. 理解什么是线性规划模型，掌握线性规划在管理及生产中的应用2. 掌握线性规划数学模型的组成及其特征3. 清楚线性规划数学模型的一般表达式。1.1 线性规划数学模型 Mathematical Model of Linear Programming线性规划（Linear Programming,缩写为LP）是运筹学的重要分支之一，在实际中应用得较广 泛，其方法也较成熟，借助计算
2、机，使得计算更方便 ，应用领域更广泛和深入。线性规划通常研究资源的最优利用、设备最佳运 行等问题。例如，当任务或目标确定后，如何统筹兼 顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原标 材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企 业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得 最好的经济效益（如产品量最多 、利润最大）。【例1.1】最优生产计划问题。某企业在计划期内计划生产甲、乙、丙三种产品 。这些产品分别需要要在设备A、B上加工，需要消耗 材料C、D，按工艺资料规定，单件产品在不同设备上 加工及所需要的资源如表1.1所示。已知在计划期内设 备的加工能力各为200台时，可供材料分别为360、
3、300 公斤；每生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获得 利润分别为40、30、50元，假定市场需求无限制。企 业决策者应如何安排生产计划，使企业在计划期内总 的利润收入最大？1.1.1 应用模型举例产产品资资源甲乙 丙现现有资资源设备设备 A 3 1 2 200 设备设备 B 2 2 4 200 材料C 4 5 1 360 材料D 2 3 5 300 利润润（元/件） 40 30 50表1.1 产品资源消耗【解】设x1、x2、x3 分别为甲、乙、丙三种产品的产量数学模型 为：产产品资资源甲乙 丙现现有资资 源设备设备 A 3 1 2 200 设备设备 B 2 2 4 200 材料C 4 5 1
4、 360 材料D 2 3 5 300 利润润（元/ 件） 40 30 50最优解X=(50,30,10);Z=3400目标函数资源约束线性规划的数学模型由决策变量 Decision variables 目标函数 Objective function约束条件 Constraints构成。称为三个要素。n其特征是：n1解决问题的目标函数目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或 最小值；n2解决问题的约束条件约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。怎样辨别一个模型是线性规划模型？【例1.2】某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续休息2天， 轮流休息。根据统计，商场每天需要的营业员如
5、表1.2所示。表1.2 营业员需要量统计表商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员 最少。 星期需要人数星期需要人数 一300五480 二300六600 三350日550 四400【解】 设 xj (j=1，2，7)为休息2天后星期一到星期日开始 上班的营业员，则这个问题的线性规划模型为 星 期需要 人数星 期需要 人数 一300五480 二300六600 三350日550 四400目标函数：总人数最少约束条件：上班人数大于每天需要人数1 X10 C1404 =300104 2 X267 C2301 =3001 3 X3146 C3350 =3500 4 X4170 C4400
6、 =4000 5 X597 C5480 =4800 6 X6120 C6600 =6000 7 X717 C7550 =5500最优解： Z617（人）【例1.3】合理用料问题。某汽车需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根， 这些轴的规格分别是1.5，1，0.7（m），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆 钢长度为4 m。现在要制造1000辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴？ 【解】这是个条材下料问题 ，设切口宽度为零。 设一根圆钢切割成甲、乙 、丙三种轴的根数分别为y1，y2，y3,则切割方式可用不等式1.5y1+y2+0.7y34 表示，求这个不等式关于y1，y2，y3的非负整数解。象这样的非负整
7、数解共 有10组，也就是有10种下料方式，如表1.3所示。 表13 下料方案方案 规规格1234 5678910需求量y1(根) 221 11 0 00001000y2 102 10 4 32101000y3 010 23 0 12451000余料（m ）00.30.5 0.1o.4 00.30.60.20.5设xj ( j = 1,2,10)为第j种下料方案所用圆钢的根数。则用料最 少数学模型为为: :方案 规规格1234 5678910需求量y1(根) 221 11 0 00001000y2 102 10 4 32101000y3 010 23 0 12451000余料（m）00.30.5
8、 0.1o.4 00.30.60.20.5求下料方案时应注意，余料不能超过最短毛坯的长度；最好 将毛坯长度按降的次序排列，即先切割长度最长的毛坯，再 切割次长的，最后切割最短的，不能遗漏了方案 。如果方 案较多，用计算机编程排方案，去掉余料较长的方案，进行 初选。1 X1500 2 X20 3 X30 4 X40 5 X50 6 X662.5 7 X70 8 X80 9 X9250 10 X100Z812.5最优解：【例1.4】配料问题。某钢铁公司生产一种合金，要求的成分规格 是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好10%，镍要界于 35%55%之间，不允许有其他成分。钢铁公司拟从五种不同级
9、别 的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如表1.4所示。矿 石杂质在治炼过程中废弃，现要求每吨合金成本最低的矿物数量 。假设矿石在冶炼过程中，合金含量没有发生变化。表1.4 矿石的金属含量合金 矿矿石锡锡%锌锌%铅铅%镍镍%杂质杂质费费用（元/t ）125101025303402400030302603015520601804202004020230585151755190解: 设xj（j=1,2，5）是第j 种矿石数量，得到下列线性规划模 型 矿矿石锡锡%锌锌%铅铅%镍镍%杂质杂质费费用（元/t ） 12510102530340 240003030260 301552060180 42
10、02004020230 585151755190注意，矿石在实际冶炼时金属含量会发生变化，建模 时应将这种变化考虑进去，有可能是非线性关系。配 料问题也称配方问题、营养问题或混合问题，在许多 行业生产中都能遇到。1 X10 2 X20.3333 3 X30 4 X40.5833 5 X50.6667最优解： Z=347.5第五年：(x7/2+x9)=x8+2x5第一年：x1+x2=200(万元)第二年：(x1/2 +x3)+x4=x2 第三年(x3/2+x5)+x6=x4+2x1第四年：(x5/2+x7)+x8=x6+2x3到第六年实有资金总额为x9+2x7，整理后得到下列线性规划模型 【解】
11、设 x1：第一年的投资； x2：第一年的保留资金x3：第二年新的投资； x4：第二年的保留资金x5：第三年新的投资； x6：第三年的保留资金x7：第四年新的投资 x8：第四年的保留资金x9：第五年的保留资金【例1.5】投资问题。某投资公司在第一年有200万元资金，每年 都有如下的投资方案可供考虑采纳：“假使第一年投入一笔资金 ，第二年又继续投入此资金的50%，那么到第三年就可回收第一 年投入资金的一倍金额”。投资公司决定最优的投资策略使第六 年所掌握的资金最多。1 X155.2846 2 X2144.7155 3 X3117.0732 4 X40 5 X552.0325 6 X60 7 X72
12、08.1301 8 X80 9 X90最优解：Z 416.26万元x1：第一年的投资； x2：第一年的保留资金x3：第二年新的投资； x4：第二年的保留资金x5：第三年新的投资； x6：第三年的保留资金x7：第四年新的投资 x8：第四年的保留资金x9：第五年的保留资金 【例1.6】均衡配套生产问题。某产品由2件甲、3件乙零件组装而成。 两种零件必须经过设备A、B上加工，每件甲零件在A、B上的加工时 间分别为5分钟和9分钟，每件乙零件在A、B上的加工时间分别为4分 钟和10分钟。现有2台设备A和3台设备B，每天可供加工时间为8小时 。为了保持两种设备均衡负荷生产，要求一种设备每天的加工总时间 不
13、超过另一种设备总时间1小时。怎样安排设备的加工时间使每天产品 的产量最大。 【解】 设x1、x2为每天加工甲、乙两种零件的件数，则产品的产量是设备A、B每天加工工时的约束为要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备1小时的约束 为 目标函数线性化。产品的产量y等价于整理得到线性规划模型 约束线性化。将绝对值约束写成两个不等式【例1.7】（书上P4例1.1-1题）饼干生产问题。某厂生产两类饼干， 需搅拌机A1，成形机A2 ，烘箱A3三种设备，每天的所需机时及机时限 制，利润指标如下表，问如何制订生产计划，可使获得最高利润？【解】 设x1、x2为每天生产 、 两种饼干的产量（单位：吨），则 目
14、标函数是产品资源每天现 有工时 搅拌机A13515成形机A2215烘箱A32211 利润/（百元/吨 ）54约束条件有：搅拌机约束成形机约束烘箱约束非负约束本问题的数学模型【例1.8】（书上P6例1.1-2题）运输问题。总公司收到上海B1，青岛 B2 ，西安B3三家商场的电机订单，需求分别为100台，80台，90-120台 ，现有北京A1，武汉A2二个仓库，库存分别为200台，150台，所需运费如下表，问如何调运电机，可使总运费最少？B1B2B3库存A1152118200A2202516150需求1008090-120 【解】 设 xij 为从仓库 Ai 调到商场 Bj 的电机数量（i=1,2
15、, j=1,2,3），则目标函数是库存约束需求约束非负约束问题的数 学模型小结：建立线性规划数学模型建立数学模型是学习线性规划的第一步也是 关键的一步。建立正确的数学模型要掌握3个要素： 研究的问题是求什么，即设置决策变量； 问题要达到的目标是什么，即建立目标函数， 目标函数一定是决策变量的线性函数并且求最大 值或求最小值； 限制达到目标的条件是什么，即建立约束条件 。作业：第1次作业.doc1.1.2 线性规划的一般模型及标准形 一般地，假设线性规划数学模型中，有m个约束，有n个决策变量 xj, j=1,2,n，目标函数的变量系数用cj表示, cj称为价值系数。约 束条件的变量系数用aij表示，aij称为工艺系数。约束条件右端的 常数用bi表示，bi称为资源限量。则线性规划数学模型的一般表达式可写成为了书写方便，上式也可写成： 在实际中一般xj0,但有时xj0或xj无符号限制。线性规划的 一般模型线性规划的标准型Standard form of LP在用单纯法求解线性规划问题时，为了讨论问 题方便，需将线性规划模型化为统一的标准形式。线性规划问题的标准型为:1目标函数求最大值（或求最小值）2约束条件都为等式方程3变量xj非负4常数bi非负max(或min)Z=c1x1+c2x2+cnxn注：本教材默认目标函数是 min或写成下列形
