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1、7 高斯光束研究这种有限宽度的波束在自由空间中传播的特点 对于激光技术和定向电磁波传播问题都具有重要意义。 本节我们从电磁场基本方程研究波束传播的特性。平面电磁波是 具有确定传播方向 ，但却广延于全空 间中的波动。实际上应用的定向电磁波除了要 求它具有大致确定的传播方向外 ，一般还要求它在空间中形成比 较狭窄的射束，即场强在空间中 的分布具有有限的宽度。特别是 在近年发展激光技术中，从激光 器发射出来的光束一般是很狭窄 的光束。1波束场强在横截面上的分布形式是由具体激发条件 确定的。现在我们研究一种比较简单和常见的形式 。这种波束能量分布具有轴对称性，在中部场强最 大，靠近边缘处强度迅速减弱。
2、设波束对称轴为z轴，在横截面上具有这种分布性质的最简单的函数 是高斯函数1亥姆霍兹方程的波束解2因此，参数w表示束的宽度。由于波动的特点，波束在传播过程中一般不能保持截 面不变，因而波束宽度一般是z的函数。当波束变宽时 ，场强也相应减弱，因此波幅也一般为z的函数。以 u(x,y,z)代表电磁场的任一直角分量，考虑到上述这些特 点，我们设u具有如下形式：是到波束中心轴（z轴）的距离高斯函数的值迅速下降3上式各因子的意义如下：eikz代表沿z方向的传播因子如果电磁波具有确定的沿z轴方向的波矢量k，这因子就是 唯一的依赖于z的因子。具有确定波矢量的电磁波是广延于全空间的平面波，因此任何有限宽度的射束
3、都不能具 有确定的波矢量。因此，射束只能有大致确定的传播方 向，而因子eikz表示依赖于z的主要因子。4是限制束的空间宽度的因子，由于射束不能有完全确定 的波矢量，因此束的宽度应为z的缓变函数。因子g(z)主要表示波的振幅，同时也含有传播因子中与纯平面波因 子eikz偏离的部分。令尝试解剩下的因子中，还含有对z缓变的函数g(z)和f(z)因子(x,y,z)是z的缓变函数。所谓缓变是相对于eikz而言的。因子 eikz当z时已有显著变化，我们假设(x,y,z),当z时变化很小 ，因此在它对z的展开式中可以忽略高次项 。5电磁场的任一直角分量u(x,y)满足亥姆霍兹方程把代人，忽略2/z2项，得6
4、用尝试解上式应对任意x，y成立，因此两方 括号内的量应等于零。由此得f(z) 和g(z)满足的方程导数导数7若这两方程有解，就表示我们所设的尝试解 是一个正确的解。这解与横截面坐标x，y有关的部分完全含于高斯函数中，其他因子仅 为z的函数。A为积分常数8u0为另一积分常数A一般是复数。A的虚数部分可以用一项 (2i/k)z0抵消，即我们总可以选z轴的原点，使A为 实数。取A为实数，可以把f(z)写为9令则f(z)可写为高斯函数为10函数g(z)的表示式可写为光束场强函数11现在讨论解的意义波束宽度由函数w(z)代表。在z0点波束具有最小宽度，该处称为光束腰部（束腰）。离腰部愈 远处波束的宽度愈
5、大 。2. 高斯光束的传播特性 式中因子ei是相因子其余的因子表示各点处的波幅 .因子是限制波束宽度的因子 .12因子u0w0/w 是在z轴上波的振幅。 u0是波束腰部的 振幅。因子w0/w 表示当波束变宽后振幅相应减弱 .波的相位为，波阵面是等相位的曲面 ，由方程=常数确定。当z=0时= 0，因此 z=0平面是一个波阵面。即在光束腰部处， 波阵面是与z轴垂直的平面。距腰部远处，当/213由于当 z2x2y2时，等相面方程可写为或因此在讨论远处等相 面时可略去 项。远 处等相面方程为14因此，在远处波阵面变为以腰部中点为球心的球面。 波阵面从腰部的平面逐渐过渡到远处的球面形状。在远处(z kw
6、02) 波束的发散角由tg=w/z确定15注意当w0愈小时，发散角愈大。因此如果要求有良好 的聚焦(w0) ,则发散角必须足够大; 如果要求有良好的定 向(小)，则宽度w0不能太小。例如当w0=1000时，发 散角 =10 -3/弧度。偏离轴向的波矢横向分量为 kk。kw=(1)，表示波的空间分布宽度与波失横向宽度之间的关系，是波动现象的一个普遍关系。只有无限 宽度的平面波才具有完全确定的波矢，任何有限宽度 的射束都没有完全确定的波矢 .16以上我们分析了一种最简单的波模。射束还可以有其他波模。有些波模的径向分布不是简单高斯函数 ，另一些波模不具有轴对称性。这些波模的特点都是 在横截面上含有一些波节（场强为零之点），因而在 横截面上光强显示出明暗相间的图样。正如在波导中 的一般波动中波模的叠加一样，一般射束也可以分解 为各种波模的叠加。具体情况系下产生的射束的形状 由激发条件决定。17
