第5章 有限元法-2

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1、第第5 5章章 有限元法有限元法(2)(2) Finite Element Finite Element Method Method (FEM)(FEM)5.3 有限元法的工程应用5.3.1 有限元法的解题步骤1. 结构的力学模型简化 采用有限元法有限元法来分析实际工程结构实际工程结构的强度和刚度问题时： 首先应从工程实际问题中抽象出力学模型，即需对实际问题的 边界条件、约束条件和外载荷进行简化。 这种简化应尽可能反映实际情况，使简化后的弹性力学问题的解与实际相近，但也不要使计算过于复杂。力学模型简化力学模型简化时，必须明确以下几点：(1) 判断实际结构的问题类型，是属于一维问题、二维问题还是

2、 三维问题。如果是二维问题，应分清是平面应力状态，还是平面应变 状态。(3) 简化后的力学模型必须是静定结构或超静定结构。(4) 进行力学模型简化时，还要给定结构力学参数如材料弹性模 量E，泊松系数 ，外载荷大小及作用位置，以及结构的几何形状及 尺寸等。 (2) 结构是否对称结构是否对称，如果结构对称，则充分利用结构对称性简化 计算，如图5-a 所示（取原分析对象原分析对象的1/2部分或1/4部分来计算）。图5-a 取原分析对象的1/2部分或1/4部分来计算2. 单元划分和插值函数的确定 根据分析对象的结构几何特性、载荷情况及所要求的变形点，建立由各种单元所组成的计算模型。 单元划分后，利用单

3、元的性质和精度要求，写出表示单元内任意点的位移函数；并利用节点处的边界条件，写出用节点位移表示的单元体内任意点位移的插值函数式。 根据位移插值函数，由弹性力学中给出的应变和位移关系，可 计算出单元内任意点的应变； 由物理关系，得应变与应力间的关系式，进而可求单元内任意 点的应力； 由虚功原理,可得单元的有限元方程，即节点力与节点位移之 间的关系，从而得到单元的刚度矩阵。3. 单元特性分析整体分析是对由各个单元组成的整体进行分析。整体分析的目的是建立节点外载荷节点外载荷与节点位移节点位移之间的关系，以 求解节点位移。把各单元按节点组集成与原结构体相似的整体结构，得到整体整体 结构的节点力结构的节

4、点力与节点位移节点位移之间的关系。上式称为整体有限元方程式整体有限元方程式。式中： F 为整体总节点载荷列阵；K 为整体结构的刚度矩阵，或称总刚度矩阵；q 是整体结构的所有节点的位移列阵。 4. 整体分析（单元组集）（5-33 ）上式写成分块的形式，则为对于弹性力学平面问题：子向量 F i、 q i 都是二维向量二维向量，子矩阵子矩阵 K K ij ij是22阶矩阵，角标( i, j )为节点总码编号，n 为整体结构中的节点总数节点总数。 （5-34 ）(1) 整体节点位移列阵 q q q 的建立的建立，可直接按节点编号顺序和每个节点的自由度数排列而成。这相当于将各个单元的节点位移 直接叠加，

5、共同节点只取一个表示即可。(2) 总刚度矩阵 K 由各个单元刚度矩阵各个单元刚度矩阵 直接叠加而成。这种叠加这种叠加是按各单元节点编号的顺序，将每个单元刚度矩阵送入 总刚度矩阵中对应节点编号的行、列位置，而且交于同一节点编号的 不同单元，对应于该节点的刚度矩阵子块要互相叠加。总刚度矩阵总刚度矩阵中其余元素均为零。 整体有限元方程式中的 F 、 K 和 q 可按以下步骤建立：K图5-7所示为一块三角形薄板一块三角形薄板离散后的三角形网格，该结构共有 四个单元和六个节点，其编号情况以及节点载荷如图所示。支承情况 是在节点4、5、6 三处共有四个位移分量限定为零，即下面通过一个简单实例简单实例来说明

6、总体刚度矩阵总体刚度矩阵 K K 的形成。图5-7 三角形薄板结构四个单元的节点局部码节点局部码如图5-8 所示。图5-8 离散后的三角形薄板单元 四个单元的节点局部码如图5-8a 所示。(1)(2)(3)(4)215332523654图5-8 离散后的三角形薄板单元 对比图5-7与图5-8可以看出，四个单元节点局部码与节点总码 的对应关系为： 单元单元1 1：单元单元2 2 ： 单元单元3 3：单元单元4 4：假设在单元分析中，已得出单元 1 在整体坐标系中的单元刚度 矩阵K (1)，写成分块形式为对单元 2、3、4 经过坐标转换后，可得出在整体坐标系整体坐标系中的单单 元刚度矩阵元刚度矩阵

7、，写成分块形式为局码 i j mijm2 3 1 总码231它是一个66阶矩阵。矩阵中下标的数字是节点总码。则按下标的编码将各子矩阵写入总体刚度矩阵中相应的位置，对应项 相加，则得总体刚度矩阵为综上所述，在弹性力学平面问题中，通过单元分析单元分析得到局部坐 标系下的各个单元的刚度矩阵各个单元的刚度矩阵后，由它们组集成整体坐标系整体坐标系下的总总 体刚度矩阵体刚度矩阵，需经如下步骤： 将所得的局部坐标系局部坐标系下下的各单元刚度矩阵 节点局部码 转换为转换为对应的节点总码，从而得到整体坐标系的单元刚度矩阵整体坐标系的单元刚度矩阵； 将整体坐标系整体坐标系的单元刚度矩阵单元刚度矩阵的的各子矩阵各子

8、矩阵根据其下标的两个 总码对号入座，写在总体刚度矩阵总体刚度矩阵相应的位置上； 将下标下标相同的相同的子矩阵子矩阵相加，形成总体刚度矩阵中相应的子矩子矩 阵阵。 整体总节点载荷列阵F 是由各单元节点载荷列阵 叠加而 成的。它是将各单元的 送到 F 中对应节点编号的行上，而且交于同一节点的不同单元，对应于该节点的节点载荷子块要互相叠加。在组集载荷列阵前，应将非节点载荷离散并等效地转移到相应单元的节点上。转移方法根据力的性质不同有不同的转换关系：(1) 体积力 p 的单元等效节点载荷(3) 整体总节点载荷列阵 F （5-35 ）(2) 表面力q 的单元等效节点载荷 (3) 非节点集中力P的单元等效

9、节点载荷上式中：N 为单元形函数；Np 为单元形函数在载荷作用点的取值。 总的单元等效节点力用叠加法叠加法求出 （5-37 ）（5-36 ）（5-38 ）在进行整体分析整体分析时，有时一个节点往往是几个单元的共有节点 ，该节点的节点力应该是共有节点共有节点的单元在该节点上的力的叠加，由此可以得到整体结构的节点载荷列阵F。 现以图5-9所示的某弹性体边界上的一部分单元的组合为例， 来说明其叠加过程。如图5-9所示，假设节点 i 是三个单元、的连接点，受 相关单元上移置而来的外载荷 Rix与 Riy ，如图5-9(a)所示。同时三个单元都受到节点 i 所施加的节点力Rix(1)、Riy(1)、Ri

10、x(2) 、Riy(2)、Rix(3)、Riy(3)，如图5-9(b)所示。图5-9 某简单结构体 式中， 表示围绕 i 节点相连接的所有单元之和。用分块矩阵表示：利用在单元分析中，已建立的这三个单元在节点处的节点力与节点 位移的关系式(5-3b)，就可把相邻的三个单元在节点 i 处加以集合，如图 5-9 (c) 所示，此时在三个单元的共同点上，总的节点力应为：根据节点 i 的平衡条件，总的节点力总的节点力应等于作用在该节点处的外载 荷（图5-9 d），即 5. 解有限元方程可采用不同的计算方法解有限元方程，得出各节点的位移。在解题解题之前，应根据求解问题的边界条件，可将式(5-33)进行缩

11、减，这样更有利于方程的求解，然后再解出节点位移q。6. 计算应力应变若要求计算应力、应变，则在计算出节点位移q后，则可通过 前述有关公式计算出相应的节点应力和应变值。 例5-1 图5-10(a)所示为一个平面薄梁，载荷沿粱的上边均匀分布 ，单位长度上的均布载荷q =100N/cm 。假定材料的弹性模量为E，泊 松比= 0，梁厚为t = 0.1cm。在不计自重的情况下，试用有限元法计算该梁的位移和应力。 5.3.2 计算实例下面通过一个简单的计算实例来说明有限元法的工程应用的分析 与计算过程。图5-10 平面薄梁的受载状态及单元划分解： 1. 力学模型的确定由于此结构的长度和宽度远大于梁厚，而载

12、荷作用于梁的平面内 ，且沿厚度方向均匀分布，因此可按平面应力问题处理。因为此结构与外载荷相对其垂直方向的中线是对称的，所以取其 一半作为分析对象如图5-10(b)，对称轴上的点约束横向位移为为0 0。 图5-10 分析对象2. 结构离散化由于该问题属于平面应力问题，本例题选用单元类型为三节点三角 形单元。然后对该结构该结构进行结构离散化，共划分两个单元，选取坐标系，并 对单元和节点进行编号如图5-10(b)所示。 3. 求应变距阵B与弹性距阵D对单元单元，见图5-10(c)，由于节点坐标：i (0, 0)，j(6, 6), m(0, 6)代 入式(5-8)和式(5-9)，得则由式(5-15)和

13、式(5-18)，求得应变距阵B和平面应力问题的弹性 距阵D为对于单元单元，见图5-10(d)，由节点坐标：i (0, 0), j (6, 0), m (6, 6)。 同理可得单元单元应力矩阵： 则得单元单元应力矩阵：4. 求各单元刚度距阵K 对于三角形单元三角形单元，由式(5-30)，可得单元单元的刚度距阵：同理，可得单元单元的刚度距阵： 5. 建立整体有限元方程式根据刚度集成方法刚度集成方法，按节点位移序号组建整体结构的总刚度距 阵K：如图5-10(b)所示，作用在1、4边上的均布载荷按静力等效原理静力等效原理移 置到1、4节点上，得整体结构的等效节点载荷列阵F：进而，可得该结构该结构的的整

14、体限元方程式整体限元方程式： 为6. 引入边界约束简化有限元方程组由于对称轴上 u3= u4= 0，节点2为固定绞支点，即 u2= v2= 0，所以 只需考虑四个位移u1, v1, v3, v4，则相应刚度方程变为这样划去对应的行和列，上述整体限元方程式缩减为解上面方程组，可得各节点位移： 7. 解线性代数方程组求各节点位移根据式(5-19)，计算各单元的应力：单元单元：8. 计算各单元的应力单元单元：5.4 有限元软件简介1. 有限元软件的选用基于有限元法有限元法是一种十分重要的分析工具分析工具，可在众多领域获得应 用，为此国际上的一些软件公司软件公司先后开发出了许多性能优良、功能齐 全的大

15、型通用化有限元分析软件，例如：ABAQUS、ADINA、ANSYS 、NASTRAN、MARC、SAP等。 单元库内有齐全的一般常用单元，如杆、梁、板、轴对称、板 壳、多面体单元等； 功能库内有各种分析模块，如静力分析、动力分析、连续体分 析、流体分析、热分析、线性与非线性模块等； 应用范围广泛，并且一般都具有前后置处理功能，汇集了各种通用的标准子程序，组成了一个庞大的集成化软件系统。 这些通用软件的特点是： 在一些CAD/CAM/CAECAD/CAM/CAE系统系统嵌套了有限元分析模块，它们 与设计软件集成为一体，可在设计环境下运行。例如：设计软件I-DEAS、Pro/ENGINEER、UNIGRAPHICS等， 其有限元分析模块虽没有通用或专用软件那么强大全面，但是完全可以解决一般工程设计问题。 在选用有限元软件时，可综合考虑以下几个方面：(1) 软件的功能；(2) 单元库内单元的种类；(3) 前后处理功能；(4) 软件运行环境；(5)