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1、第六章 假设检验（Hypothesis Testing）1 假设检验的基本概念 假设检验的任务对总体的分布提出假设 或对总体分布中的未知参数提出假设用样本观测值对假设的“真”或“伪”作 出 判断 检验中的假设 原假设 记作通常由正常情况下应有的状态或应取的数值给出 备择假设 记作通常由与原假设相悖的状态或取值、检验者希望由样本观测值获得 支持的现象给出例如：拟通过检验确定某天生产的产品的 合格率。设合格率为 p 正常情况下，该产品的合格率是0.9若这天生产过程中没有特殊情况， 则 可以设若抽验30件，发现5件次品，则检验 者 有理由怀疑合格率达不到0.9。把检验 者 的怀疑体现在备择假设中。可
2、以设注意原假设与备择假设的地位不对等：是受保护的，没有足够的理由不 能 否定 ；拒绝 是有说服力的，而接受 仅 是 没有足够理由否定 。 3. 假设检验的方法及原理1）反证法为了判断 是否真，先假设 真。 在 此假设下如果出现不合理结果，则否定真；若未出现不合理结果，则可认 为真。例如，检验假设 成立，则 作为 的估计， 应该接近于0，但是，用样本观测值计 算 得到 远远大于0，则可以认 为 原假设 不真，从而拒绝 。2）小概率原理亦称实际推断原理，认为“小概率事 件” 在一次试验中几乎不可能发生”。若一次抽样得到的结果提示小概率 事 件发生，则认为这样的结果是“不合理 结 果”。例如，检验若
3、合格率达到 0.90，则抽验100件产 品 仅有60件合格是一个几乎不可能发生 的 事件。然而，样本观测值显示这个事件 发生了，因此有理由认为原假设 不 真4. 对总体分布中的参数提假设并检验的有关概念 1）双侧检验与单侧检验双侧检验单侧检验2）检验方法（1）根据已知条件提出原假设 和备 择假设 ；（2）构造统计量 并在 成立的条件下确定统计量 的分布；（3）根据备择假设 构造小概率事件 使得通常由临界值确定使小概率事件发生的 的取值范围，称其为拒绝域，记作 R （Rejection Region）（4）计算由样本观测值得到的统计量 的值。若统计量值属于拒绝域，则拒绝 原假设 ；若统计量值不属
4、于拒绝域，则接 受原假设 。 假设检验的错误由样本对总体状况作出判断，实质 是 用部分推断整体，因而可能出现两类错 误。 1）弃真错误（第一类错误）即 正确，但检验结果拒绝了 犯弃真错误的概率是2）采伪错误（第二类错误）即 不正确，但检验结果不能否定 犯采伪错误的概率是P 接受 不真 =注意1）“弃真”或“采伪”都以原假设 为参 照真，检验结果拒绝 ，犯弃真错 误伪，检验结果接受 ，犯采伪错 误真，检验结果拒绝 ，犯采伪错 误伪，检验结果接受 ，犯弃真错 误2）样本容量给定时， 减小会使 增大，反之亦然；若要 和 都小，则应增加样本容量。称只控制犯弃真错误概率的检验为“ 显著性检验”；称 为显
5、著性水平2 单个正态总体参数的检验设总体 是总体 的样本。样本均值和样本方 差 分别为1. 已知，检验根据已知条件（正态总体、方差 已 知、检验 ），可以构造统计 量如果原假设 成立，则作为 的估计，Z 的值应该 在 原点附近。双侧检验时，Z 的值过大或 过小即可认为原假设 不成立。检验程序 （1）提出假设（2）构造统计量成立的条件下（3）给定 确定临界值 拒绝域R（4）计算统计量值若Z的值属于R，则拒绝 ；否则，接受 。例1（习题六第1题）设某种切割机切 割 的每段金属棒长度 ， 正 常状态下 ，现从一批产品中随机 抽取15根，测量结果如下（单位：cm ）：10.4 10.6 10.1 10
6、.4 10.510.3 10.3 10.2 10.9 10.610.8 10.5 10.7 10.2 10.7 问显著性水平 下能否认为切割 机 处于正常工作状态？解 因为 =0.15（cm）已知，由样 本 观测值计算得到 提出假设成立时统计量拒绝域因为所以接受 ，即 下可以认 为 机器处于正常工作状态。例2 （习题六第9题）设总体是 的样本，检验给出判别规则：显著性水平 下 当 时拒绝 。试确定常 数 C。 解 =3已知，提出假设成立时统计量由 得到所以 下 C =1.176 时拒绝 。2. 未知，检验 检验程序 （1）提出假设（2）构造统计量成立的条件下（3）给定 确定临界值 拒绝域R（4
7、）计算统计量值若 T 的值属于R，则拒绝 ；否则，接受 。3. 检验 检验程序 （1）提出假设（2）构造统计量成立的条件下（3）给定 确定临界值 拒绝域R（4）计算统计量值若 T 的值属于R，则拒绝 ；否则，接受 。例3 （习题六第3题）设某种建筑材料 每 平方米的抗压力 ，合格 产 品要求平均抗压力 不低于500（kg） , 标准差 不大于5.5（kg）。现随机抽 验 5件测试，记第 i 件的抗压力为 计算得到 问显著性水平 下（1）能否认 为不大于5.5(kg)？（2）能否认为 不 低 于500(kg)？ 解 计算得到（1）成立时统计量拒绝域因为所以接受 ，即 下可以认为 标 准差 不大于
8、5.5(kg)。（2）成立时统计量因为所以拒绝 ，即 下认为平均抗 压 力 低于500(kg)。注意在检验问题中，接受或拒绝原假设 与显著性水平 有关。上例中，若 则拒绝域是 ，统计量 T 的 值不属于拒绝域，从而可以接受 。实际问题中，可以根据检验问题的 重 要性设定显著性水平 。练习1. 下列说法正确的是 假设检验是以小概率事件原理为依据 的； B. 假设检验的结果总是正确的； 对同一总体同一统计假设用不同样本 进行检验结果总是相同的； D. 由样本观测值即能判定原假设是否 正确2. 下列说法错误的是 A. 原假设 “伪”接受了 ，犯了采伪 错误； B. 原假设 “真”接受了备择假设 ，
9、犯了弃真错误； C. 备择假设 “伪”接受了 ，犯了 采伪错误； D. 备择假设 “真”接受了原假设 ， 犯了采伪错误3. 总体方差已知检验 ： = 时下 列情形中接受 可能性大的是A. 样本容量n 大 B. 样本容量n小C. 显著性水平 小 D. 显著性水平 大4. 设总体X N（ ，9），若要检验： =2， ： 2，Z是构造 的统计量，则显著性水平 下拒绝域 是 A. Z B. Z C. Z D. Z 5. 设总体X ， 未知， 是样 本均值。若要检验 ： = ， ： 则显著性水平下 与拒绝域的确定有 关的是 A. ， ， B. ，样本容量 n ， C. ， D. ， ，样本容量 n设总
10、体X，D. ，样本容量 n复习提示 理解假设检验的基本概念 1）怎样提原假设和备择假设？ 2）假设检验的原理是什么？ 3）怎样区分“弃真错误”和“采伪错误”？ 4）什么是“显著性检验”？2. 应该掌握的检验方法已知总体 1）检验 （1） 已知时怎样构造统计量？成立时统计量服从什么分布？ （2） 未知时怎样构造统计量？成立时统计量服从什么分布？2）检验 （1） 已知时可以怎样构造统计量？成立时统计量服从什么分布？ （2） 未知时怎样构造统计量？成立时统计量服从什么分布？3 两个正态总体参数的假设检验设总体 ，与 分别是取自 和 的样本，两样本相互独立 样本均值样本方差 1. 检验 1） 已知 （
11、1）（2）构造统计量成立时（3）给定 确定临界值 拒绝域R（4）计算统计量值若统计量Z的值属于R，则拒绝 ； 否则，接受 。2） 未知，但可以认为 （1）（2）构造统计量成立时（3）给定 确定临界值 拒绝域R（4）计算统计量值若统计量T 的值属于R，则拒绝 ； 否则，接受 。2. 检验 （1）（2）构造统计量成立时（3）给定 确定临界值拒绝域R（4）计算统计量值若统计量F的值属于R，则拒绝 ； 否则，接受 。例4 （习题六第4题）设两箱灯泡的使 用 寿命分别为 和 ， 分别抽取容量为9和18的 两 个相互独立的样本，计算得到，问显著性水 平下能否认为两箱灯泡的平均使用 寿命无显著差异？ 解 先
12、检验两个总体的方差是否有显 著 差异构造统计量成立时已知所以接受 ，即 下可以认为 两 总体的方差无显著差异。再检验两个总体的数学期望是否有 显 著差异，可以提假设构造统计量成立时已知统计量的值所以接受 ，即 下可以认为两 箱 灯泡的平均使用寿命相等。4 事件概率p的假设检验设总体 服从两点分布，分布律为是 的样本，则由所设 ， 有n 充分大时，近似服从标准正态分布考虑大样本情形 （1）假设（2） 成立时统计量或近似服从标准正态分布（3）给定 确定临界值 拒绝域R（4）计算统计量值若U的值属于R，则拒绝 ；否则， 接 受 。例5 某厂规定产品的次品率不超过 1% 允许产品出厂。现从一批产品中随机抽 取150件，问显著性水平 下最多 发现几件次品可以允许这批产品出厂？解 提出假设成立时统计量近似服从标准正态分布由得到（ 是150件中的次品数）所以， 下若要允许这批产品出厂 则抽验的150件产品中最多只能
