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1、课程代码： 081543学时/学分： 2 成绩：经 济 管 理 学 院 研 究 生课 程 论 文（计量金融学）论文题目：基于 ARMA 和 GARCH 族模型对上证指数波动性的实证研究课程教师： 杨继平学生姓名： 凌巍学 号： sy1409152 年年2014 年 12 月 20 日摘要中国证券市场发展迅速，股市几度成为投资者进军的主要领域。成为了宏观经济和金融的“晴雨表“。因此越来越多的市民对股票逐渐产生了兴趣。炒股已经不再是个别现象，全民参股的盛况可谓空前。但由于缺乏对其风险的判断，在最近几年开始的股市大波动中，绝大多数的新股民都亏损严重。分析股票走势并预测其未来趋势有重要现实意义，本文以
2、 1990 年 12 月到 2013 年 4月的上证每日收盘指数为数据 ，通过 GARCH 族和 ARMA 模型对该数据进行研究和分析。关键词:上证指数;ARMA 模型;GARCH 模型 ;EGARCH 模型;TGARCH 模型AbstractChinas securities market is developing rapidly, the stock market has become the main field of a few degrees of investors to enter the. As a” barometer of economic and financial .
3、 Therefore, more and more people on the stock gradually became interested in. The stock market is no longer the individual phenomenon, the grand national participation is unprecedented. But because of the lack of the risk judgment, in the stock market large fluctuations in recent years, new people a
4、re the majority of the serious losses. Analysis of the trend of the stock and has important practical significance to predict its future trend, this paper in 1990 December to 2013 April the Shanghai Daily index data, through the ARCH and ARMA model to analyze the data.Keywords: Shanghai Composite In
5、dex; ARMA model; GARCH model; EGARCH model1、引言股票市场的波动对投资决策来说至关重要，也成为金融经济学家们长期关注的问题。经过大量关于金融价格行为的实证研究已经证实：波动是随时间变化而变化的。ARMA 模型是由美国统计学家 G.E.P.Box 和英国统计学家G.M.Jenkins 在二十世纪七十年代提出的时序分析模型, 即自回归滑动平均模型 (AutoregressiveMovingAverageModel)，Engle 于 1982 年首次提出自回归条件异方差 ARCH 模型(Autoregressive conditional heteroske
6、dasticity model)之后，进一步证实在某种程度上波动是可以预测的。我国新兴股票市场价格的波动性有许多自身的特征，本文将利用自回归滑动平均模型 ARMA 模型和自回归条件异方差 ARCH 族模型对上证综合指数进行实证研究，进一步分析股票市场的波动性。2、数据选取本文以上证综合指数为代表，研究上证综合指数和收益率的波动特征，选取的数据来自新浪财经网站，选取较新的数据（每交易日的收盘价）作为样本，时间跨度为 1990.12.19-2013.4.18,样本数为 5467，实证分析的结果主要通过EViews 软件得到。采用日收益率为日收盘价自然对数的一阶差分，表示如下：ttt-1r=lnP（
7、 ） （ ）其中， 表示日收益率， 为日收盘价。t tP2、理论模型2.1、ARCH(q)模型设 为因变量， 为解释变量,在 t 时刻可获得的信息集为 的条件下，iYtx t-1误差项 服从以 0 为期望值， 为条件方差的正态分布，即对于回归方程：tth()tttX1(),var| 2t tttE22101var| (3)ttt tqth其中， ，即条件方差具有 q 阶01,+1q 且自回归式，则称误差项 服从 q 阶的 ARCH 过程，记作 。t ()tARCH过 程ARCH(q) 模型表明过去的波动扰动对市场未来波动有着正向而减缓的影响 ,因此波动会持续一段时间, 从而模拟了市场波动的集群
8、性现象 ,该模型为分析和发展波动性时间序列提供了一个框架。然而，在过去 10 年或更长时间里，ARCH 模型自身很少被运用，这是由于它存在相当多的难题，例如如果把所有残差平方的依赖关系都考虑进来，滞后阶数，即 q 值将很大，这将导致一个庞大的条件方差模型，参数估计存在难度，并且在 ARCH 模型中，在其他情况相同不变的条件下，条件方差方程中参数越多，这些参数出现负的估计值的可能性就越大，违反非负数约束的可能性就越大。2.2 、 GARCH(p,q)模型GARCH(p,q)是 ARCH(q)模型的扩展，由式（ 1） ， （2）和方差方程：1011var| (4)qpttt ittki khh 构
9、成， ，0p,q,(,),0,i jp 其 中值的大小反映出外部冲击对波动特征产生影响的持久性，当1qik时，GARCH(p,q)过程平稳。11qpik当 p=0 时，GARCH(p,q)模型即为 ARCH(q)模型，同样具有 ARCH(q)模型的特点, 能模拟价格波动的集群性现象。两者的区别在于，GARCH(p,q)模型的条件方差不仅是滞后残差平方的线性函数,而且是滞后条件方差的线性函数。利用GARCH(p,q)模型, 能在计算量不大时，更合适地描述高阶的过程。实践中大多数金融数据序列的分布较正态分布而言，尾巴拖得更长，中间峰顶更尖，即具有厚尾巴特征, 而 GARCH(p,q)模型有助于模拟
10、这种现象。但 GARCH(p,q)模型不能解释股票收益与收益变化波动之间出现的负相关现象，实践中，研究人员发现，当预期股票收益会下降时，波动趋向于增大；当预期股票收益会上升时，波动趋向于减小。GARCH(p,q)模型不能解释这种现象。2.3、EGARCH 模型线性 GARCH 模型暗含了这样一个假设：同等程度的正冲击和负冲击所引起的波动是相同的，即条件方差对正负冲击的反应是对称的。但是在证券市场中，同等程度的正负收益率冲击所引起的收益率波动往往是不相等的，因为按常理我们了解到股价下跌和上涨的幅度相同时，股价下跌过程往往会伴随更剧烈的波动。显然，线性 GARCH 模型无法刻画这种波动的非对称性。
11、为了更好的解释股市波动的非对称性，针对这一问题，Nelson 于 1991 年提出了指数 GARCH 模型（Exponential GARCH,简称 EGARCH）,EGARCH 模型可以较好地刻画股市波动存在的非对称性。EGARCH 模型还取消了模型中参数非负的限制。在 EGARCH 模型中，均值方程仍不变，条件方差满足： 22111ln()ln()|ttt tu若参数 为负数，那么负冲击所引起的波动大于相同程度正冲击所引起的波动；反之，若 为正数，则相同程度的正冲击所引起的波动更大；若=0，则波动性对正、负冲击的反应是对称的。此外，由于在 EGARCH 模型中，条件方差被表示为指数形式，因
12、而对模型中的参数没有任何约束，这也是EGARCH 模型的又一大优点。2.4、TGARCH 模型反映波动非对称的模型还有 TGARCH 模型，TGARCH 模型指 ThresholdARCH模型，其均值方程不变，条件方差防尘定义为： 2222tt-111=+ut td其中 是哑变量，参数 允许 TGARCH 效应是非对称的，当 0 统计t-1d上是显著的时候，说明信息不对称，存在杠杆效应，0 表明坏消息比好消息对波动的影响程度更大；若 0,表明坏消息比好消息对波动的影响程度更小。2.5、ARCH-M 模型Engle 于 1985 年首先提出 ARCH-M 模型，1987 年正式发表，ARCH-M
13、 模型是 ARCH 模型考虑到条件方差作为时变风险的度量这一重要用途，而将风险与收益紧密联系在一起产生的，它同时将条件异方差能够直接影响收益均值，可以说是 ARCH 与实际相结合的一个例子，是 ARCH 模型的重要分支。其形式如下：ttt21011y=+dh(1)h 2(3)rt itipqt ittjtji ju其中， （1）式为时变预期收益， （2）式为时变波动方程， （3）式为均值方程，时变预期收益公式中的参数 d 度量了时变波动和预期收益的影响。2.6、ARMA(p,q)模型2.6.1 自回归模型 AR(p)P 阶自回归模型记作 AR(p)，满足下面方程：12t tt pttucuu其
14、中，参数 c 为常数； p 为自回归模型阶数；2,p 是 自 回 归 模 型 参 数 ；t00是 均 值 、 常 方 差 、 协 方 差 的 白 噪 声 序 列 。2.6.2、移动平均模型 MA(q)q 阶移动平均模型记作 MA(q)，满足下面的方程： 1t tt qtu其中，参数 为常数；参数 是 q 阶移动平均模型的系数，2,。2t0是 均 值 为 ， 方 差 为 的 白 噪 声 序 列2.7.3、ARMA(p,q)模型 1 1ut t pttt ptqcuu 显然该模型是 p 阶自回归模型和移动平均模型的组合，当 p=0 时，ARMA(0,q)=MA(q)，当 q=0 时，ARMA(p,
15、0)=AR(p),ARMA 模型针对的是平稳序列，对于非平稳的时间序列，不能直接用 ARMA 模型区描述，只有经过某种处理后，产生一个平稳的新序列，才可应用 ARMA（p,q）模型。对于含有短期趋势的非平稳时间序列可以进行差分使得非平稳序列成为平稳序列。如果数据的自相关系数表现出拖尾而偏自相关系数表现出 p 阶截尾，则选择 AR(p)模型，反之则选择 MA(p)模型，如果自相关系数和片自相关系数都表现出拖尾，则选择ARMA(p,q)模型。4、原始数据的平稳化处理由于股市的波动比较大，因此原始的上证股指数据通常是不平稳的，需要对原始数据进行处理才能平稳，首先，通过 Eviews8 画出原始数据的时间序列图和一阶差分后的序列图，如下图所示：从上图可以看出，上证综指的日收盘序列是不平稳的，而对原始数据的时间序列进行一阶差分后再绘出其序列图，可以大致看出差分序列可能是平稳的。进一步，需要通过单位根检验对一阶差分后的序列进行平稳性检验，如果通过检验，则说明该差分序列是平稳的，单位根检验结果如下图所示，通过 1%的显著检验，即数据一阶差分后是平稳的：Null Hypothesis: DSP has a unit rootExogenous: NoneLag Length
