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1、二面角大小的求法二面角的类型和求法可用框图展现如下:一、定义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊点) ,分别在两个半平面内作棱的垂线,得出平面角,用定义法时,要认真观察图形的特性;例、 如图,已知二面角 - 等于 120,PA,A,PB,B. 求APB 的大小.例、在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 是正方形,PA 平面ABCD,PA=AB=a,求二面角 B-PC-D 的大小。jAB CDPHPOBA二、三垂线定理法:已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角;例、在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 是平行四边形,PA 平面ABCD,PA=AB=a,AB
2、C=30,求二面角 P-BC-A 的大小。例、(2003北京春)如图,ABCD-A 1B1C1D1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E是棱BC的中点,求面C 1DE与面CDE所成二面角的正切值.pAB CDLHA BCDA1 B1C1D1EO例、ABC 中,A=90,AB=4,AC=3,平面 ABC 外一点 P 在平面 ABC 内的射影是 AB 中点 M,二面角 PACB 的大小为 45。求(1)二面角 PBCA 的大小;(2)二面角 CPBA 的大小例、(2006 年陕西试题)如图 4,平面 平面 , =l,A,B ,点 A 在直线 l 上的射影为 A1,点 B 在 l
3、的射影为 B1,已知 AB=2,AA 1=1,BB 1= ,求:二面角 A1ABB 1的大小.2图 4B1A A1BLEFCDPMBA三、垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角,由此可知,二面角的平面角所在的平面与棱垂直;例、空间的点 P 到二面角 的面 、 及棱 l 的距离分别l为 4、3、 ,求二面角 的大小.92l四、射影法:(面积法)利用面积射影公式 S 射 S 原 cos ,其中 为平面角的大小,此方法不必在图形中画出平面角;例、在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 为正方形,PA平面ABCD,PAABa,求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。lAB CDPP lCBA例、如图,设 M 为正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱 CC1的中点,求平面 BMD1与底面 ABCD 所成的二面角的大小。 五、平移或延长(展)线(面)法对于一类没有给出棱的二面角,应先延伸两个半平面,使之相交出现棱,然后再选用上述方法(尤其要考虑射影法) 。例、在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 为正方形,PA 平面ABCD,PAABa,求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。AHMD1C1B1A1BCDP C1A1 B1A BCDPA BCD P C1A1 B1A BCD