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1、(掌握确定直线位置的几何要素/掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)/了解斜截式与一次函数的关系)8.2 直线的方程1点斜式：已知直线l上一点p0(x0，y0)与这这条直线线的斜率k，方程(1)：yy0k(xx0)称为为直线线的点斜式方程2斜截式：由点斜式方程可知，若直线过线过 点B(0，b)且斜率为为k，则则直线线的方程为为：ykxb.方程ykxb称为为直线线的斜截式方程简简称斜截式其中b为为直线线在y轴轴上的截距3两点式：经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1x2，y1y2)两点的直线线方程为为 (1)，我们们称(1)为为直线线的两点式方程，简简称两点式4截距式：当
2、直线l不经过经过 原点时时，其方程可以化为为 (2)，方程(2)称为为直线线的截距式方程，其中直线线l与x轴轴交于点(a,0)，与y轴轴交于点(0，b)，即l与x轴轴、y轴轴的截距分别为别为 a，b.5一般式：关于x，y的二元一次方程：AxByC0(A，B不全为为0)叫直线线的一般式方程，简简称一般式1已知a(2,3)，直线线l过过点A(3，1)且与向量a垂直，则则直线线l的方程为为( )A3x2y70 B3x2y110C2x3y30 D2x3y90答案：D 2. 已知点A(1,2)、B(3,1)，则线则线 段AB的垂直平分线线的方程为为( )A4x2y5 B4x2y5 Cx2y5 Dx2y5
3、解析：kAB ，则线段AB的垂直平分线的斜率k2，又线段AB的中点坐标为(2， )，则线段AB的垂直平分线的方程为y 2(x2)，即4x2y5.答案：B3A、B是x轴轴上两点，点P的横坐标为标为 2，且|PA|PB|，若直线线PA的方程为为xy10，则则直线线PB的方程为为( )A2xy10 Bxy50C2xy70 D2yx40解析：由题意得A(1,0)、P(2,3)、B(5,0)，由两点式，得PB方程为xy50.答案：B4过点P(2,3)，并且在两坐标轴标轴 上截距相等的直线线方程是_解析：过P点和原点的直线方程为y x，即3x2y0 ；设所求直线方程为 1(a0)，由P(2,3)在直线上，
4、可求得：a5，则所求直线方程为xy50，因此满足条件的直线方程为3x2y0或xy50.答案：3x2y0或xy50求直线方程是解析几何中最基本的问题，可根据已知条件在点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式中进行选择，同时要注意各种形式所适用的范围，以防漏解【例1】 求适合下列条件的直线线方程：(1)经过经过 点P(3,2)，且在两坐标轴标轴 上的截距相等；(2)经过经过 点A(1，3)，倾倾斜角等于直线线y3x的倾倾斜角的2倍解答：(1)解法一：设设直线线l在x，y轴轴上的截距均为为a，若a0，即l过过点(0,0)和(3,2)，l的方程为为y x，即2x3y0.若a0，则设则设 l的方程为为 ，
5、l过过点(3,2)，a5，l的方程为为xy50，综上可知，直线l的方程为2x3y0或xy50.解法二：由题意知，所求直线的斜率k存在且k0，设直线方程为y2k(x3)，令y0，得x3 ，令x0，得y23k，由已知3 23k，解得k1或k ，直线l的方程为：y2(x3)或y2 (x3)，即xy50或2x3y0.(2)由已知：设设直线线y3x的倾倾斜角为为，则则所求直线线的倾倾斜角为为2. tan 3，tan 2 又直线经过线经过 点A(1，3)，因此所求直线线方程为为y3 (x1)，即3x4y150.变式1.求经过点(2，1)，倾倾斜角为为直线线4x3y40的倾倾斜角一半的直线线方程解答：设所求
6、直线线的倾倾斜角为为，则则直线线4x3y40的倾倾斜角为为2.00，即tan 2.所求直线线方程为为y12(x2)，即2xy50.确定一条直线需要两个独立条件，故求直线方程时就应围绕如何根据已知条件确定或找出能确定直线方程的两个条件，从而达到求出直线方程的目的一般地，已知直线过一点，一般考虑点斜式或斜截式；已知直线过两点，一般考虑两点式；已知直线与两坐标轴相交得到的三角形的相关条件，一般考虑截距式【例2】直线l经过经过 点P(3,2)且与x，y轴轴的正半轴轴分别别交于A、B两点，OAB的面积为积为 12，求直线线l的方程解答：解法一：设设直线线l的方程为为A(a,0)，B(0，b)，所求的直线
7、线方程为为 ，即2x3y120.解法二：设设直线线l的方程为为y2k(x3)，令y0，得直线线l在x轴轴上的截距a3 ，令x0，得直线l在y轴轴上的截距b23k. (23k)24.解得k .所求直线线方程为为y2 (x3)即2x3y120.变式2.一条直线l过过点P(1,4)，分别别交x轴轴，y轴轴的正半轴轴于A，B两点，O为为原点，求AOB的面积积最小时时直线线l的方程1. 关于点对对称问题问题 可利用中点坐标标公式进进行求解；2关于直线对线对 称问题问题 可考虑虑“垂直”“平分”进进行求解【例3】一直线被两直线线l1：4xy60；l2：3x5y60截得的线线段的中点恰好是坐标标原点，求此直
8、线线方程解答：设所求直线线与l1的交点为为(x0，y0)，则则4x0y060，点(x0，y0)关于原点的对对称点为为(x0，y0)，故3x05y060.所求直线线的方程为为y x，即x6y0.变式3.光线从点A(3,4)发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B(2,6)，则射入y轴后的反射线的方程是_解析：A(3,4)关于x轴的对称点A1(3，4)在经x轴反射的光线上，同样A1(3，4)关于y轴的对称点A2(3，4)在经过射入y轴的反射线上，kA2B 2.故所求直线方程为y62(x2)，即2xy20.答案：2xy20【方法规律】1深刻理解直线倾斜角和斜率的概念，明确其作用，能利用数形结
9、合的思想方法观察直线斜率和倾斜角的范围，能够利用直线的斜率表示倾斜角2在利用点斜式、斜截式、两点式和截距式求直线方程时，要充分意识到它们自身的局限性，点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴平行或重合的直线，而截距式既不能表示与坐标轴平行或重合的直线也不能表示过坐标系原点的直线求直线方程也要利用数形结合的思想方法可先结合图形判断符合条件的直线有几条等. (本小题满分4分)如图，在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点分别为A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)；点P(0，p)为线段AO上的一点(异于端点)，这里a，b，c，p为非零常数设直线BP、CP分别与边AC、
10、AB交于点E、F.某同学已正确求得直线OE的方程为 ，请你完成直线OF的方程：(_)x( )y0.【答题模板】解析：画草图，由对称性可猜想填 .由截距式可得直线AB： 1，直线CP： 1，两式相减得 0，显然直线AB与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程答案： 【分析点评】1. 本题在形式上是考查直线方程问题，直线OF的方程可通过常规的方法求出具体做法如下：直线BA的方程为： 1直线CF的方程为： 12实质上对数形结合的思想方法进行了全方位深刻的考查，为什么式式就可得到直线OF的方程呢？3揭示了当两直线的倾斜角互补时则两直线的斜率互为相反数，同时给出了三角形鲜为人知的性质，以及性质的解析法证明过程，难得一见，值得思考. 点击此处进入 作业手册
