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1、第2章 线性方程组在科学研究和生产实践中,许 多实际问题往往涉及到解线性方 程组。因此,对线性方程组的研究 具有十分重要的意义,其本身也是 线性代数的重要内容之一.2.1 消元法上一章导出的克拉默法则在理论上是一个非 常完美的结果，利用行列式，把线性方程组的解 以公式解的形式表示了出来。然而，克拉默法则仅可解决当线性方程组的 方程个数与未知数个数相同，并且方程组的系数 行列式不等于零时的求解问题。如果当方程组的方程个数与未知数个数不相 同，或者方程组的系数行列式等于零等更加一般 的线性方程组时，不能用克拉默法则来求解，因而 ，我们来讨论一般的线性方程组的求解问题。其中未知量,第i个方程第j个未
2、知量xj的系数,常数项若全为0称为齐次线性方程 组所谓一般线性方程组是指具有形式：否则，为非齐次线性方程组由m个方程n个未知量的线性方程构成的方程组现在我们来回顾一下，中学是如何求解方程组的。例解线性方程组不能用克拉默 法则求解.()解互换、两个方程得到同解的方程组，消去 、中的x1， 可以得到继续消去、中的x2， 可以得到同解同解()()()通过回代，可以很容易的解得方程组()的解：x1=1, x2=2, x3=1，也即求得了原方程组()的解。分析上述消元法过程，我们对线性方程组施行了三种变换：称这三种变换为线性方程组的初等变换.(1)交换两个方程的位置； (2)用一个不等于零的数乘某一个方
3、程； (3)用一个数乘某个方程后加到另一个方程上.线性方程组的初等变换把一个线性方程组变为一 个与它同解的线性方程组.消元法的实质,就是利用初等变换化简线性方程组 .最终得到比较简单的容易求出解的线性方程组， 而该线性方程组的解即为原线性方程组的解.消元法的实质,就是利用初等变换化简线性方程组.那么把方程组化简 到哪一步就能解出 原方程组的解呢进一步观察一下消元法的过程可以发现，消 元法中作的变化仅仅是对方程组的系数和常 数项作的变化，可把系数项和常数项单独拿 出来处理。()取出系数和常数 项排成矩形数阵方程组跟这样的数表是相互唯一对应的()取出系数和常数 项排成矩形数阵这方程组跟这样的数表是
4、相互唯一对应的消元法的两个方程互换数表的两行互换消元法的倍加数表第1行某倍加到其他行取出系数和常数 项排成矩形数阵取出系数和常数 项排成矩形数阵()()从上述过程可以发现，消元法中作的变化可以 简单的通过对系数项和常数项构成的数表进行 处理来得到方程组的解。 把这样的数表通称为为矩阵。矩阵的定义定义由个数排成的行列的矩形数阵行列的矩阵，或称称为矩阵， 简记为行列数aij表示位于第i行 第j列的元素，i称 为行指标，j称为列 指标。线性方程组由线性方程组的系数构成的矩阵，称为系数矩阵,由线性方程组的系数和常数项构成的矩阵称为线性方程组的增广矩阵，A=记为A=A=记为 A为了区别系 数和常数项前面
5、分析知道，消元法就是进行一系列的线性方程组的 初等变换（互换、倍乘、倍加）， 事实上，也是对增广矩阵进行一系列的下面三种变换：称这三种变换为矩阵的初等行变换.(1)交换两行的位置, (2)用一个不等于零的数乘某一行, (3)把矩阵某一行所有元素的k倍加其他行的对应元素上,当对矩阵的列进行类似的三种变换时，称矩阵的初等列变换.记为Rij 记为kRi以Ri+kRj表示i行加 上j行的 k倍据此可以知道，消元法的过程相当于就是对增广矩阵进行 一系列的初等行变换，化为比较简单的矩阵，并解出比较 简单矩阵所代表的方程组的解，从而得到原方程组的解.那么应该化为怎么样比较 简单的矩阵呀阶梯形矩阵定义设 矩阵
6、 的前r（rn）行均全不为零 ，其余行全为零. A的第k行第1个非零元素为 ， 若满足则称A为阶梯形矩阵，并称 为阶梯头。每个台阶的高度都是1，也即从上 往下每行第一个非零元素的位置必 须向右边至少缩进一个位置 例如阶梯头它是阶梯 形矩阵吗约化阶梯形矩阵定义 若阶梯形矩阵A的每个阶梯头都为1，且阶梯 头所在的列其他元素都为零，则称为约化阶 梯型矩阵，或称为行最简形。 例如消元法的过程相当于就是对增广矩阵进行一系列 的初等行变换化为比较简单的矩阵，并解出比较 简单矩阵所代表的方程组的解，从而得到原线性 方程组的解.所谓比较简单的矩阵就是阶梯形矩阵， 阶梯形矩阵代表的线性方程组当有解时 通过回代一定可以求出解。所以，消元法的过程相当于就是对增广矩阵 进行一系列的初等行变换化为阶梯形矩阵， 并解出阶梯形矩阵所代表的方程组的解，从 而得到原方程组的解.定理设 ,且 不全为零，则通过初等行变换和列互换能把A化为约化阶梯形矩阵A=r行作业：（注：每周一早上8点交作业）P431.（1） 3.（3）
