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1、1 1普通高中课课程数学选选修4-1 第一讲讲 相似三角形的判定及有关性质质1.3 1.3 相似三角形的判定及性质相似三角形的判定及性质第一讲 相似三角形的判定及有关性质相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做 相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相 似比(或相似的系数).复习回顾预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的 延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.2 2普通高中课课程数学选选修4-1 第一讲讲 相似三角形的判定及有关性质质 判定定理1对于任意两个三角形,如果一个三角形的两 个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么 这两个三角形相似.简述:两角对应相
2、等,两三角形相似判定定理2对于任意两个三角形,如果一个三角形的两 边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角 相等,那么这两个三角形相似.简述:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似3 3普通高中课课程数学选选修4-1 第一讲讲 相似三角形的判定及有关性质质引理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延 长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行 于三角形的第三边.判定定理3对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边 和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两 个三角形相似. 简述:三边对应成比例,两三角形相似4 4普通高中课课程数学选选修4-1 第一讲讲 相似三角形的判定及有关性质质 直角三
3、角形相似的判定定理定理（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似。（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比 例，那么它们相似。类比直角三角形全等的判定定理(斜边和一条直角边对 应相等的两个直角三角形全等)能得直角三角形相似的 另一个判定定理.两角对应相等两边对应成比例及夹角相等5 5普通高中课课程数学选选修4-1 第一讲讲 相似三角形的判定及有关性质质2.相似三角形的性质（1）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应 角平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形周长的比等于相似比； （3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。ABDCABCD6 6普通高中课课程数学选选修4-1
4、第一讲讲 相似三角形的判定及有关性质质结论：两个相似三角形的外接圆的直径比，周长比 等于相似比；面积比等于相似比的平方。结论：两个相似三角形的内切圆的直径比，周长比 等于相似比；面积比等于相似比的平方。7 7普通高中课课程数学选选修4-1 第一讲讲 相似三角形的判定及有关性质质8 8普通高中课课程数学选选修4-1 第一讲讲 相似三角形的判定及有关性质质 1.射影点在直线上的正射影 从一点向一直线所引垂线 的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。一条线段在直线上的正射影 线段的两个端点在 这条直线上的正射影间的线段。AAANMNMABAB点和线段的正射影简称射影9 9普通高中课课程数学选选修4-
5、1 第一讲讲 相似三角形的判定及有关性质质探究：ABC是直角三角形，CD为斜边AB上的高。 你能从射影的角度来考察AC与AD，BC与BD等的关 系。你能发现这些线段之间的某些关系吗？ABDC射影定理 直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜 边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上 射影与斜边的比例中项。ABDC用勾股定理能证明吗?AB=AC+BC(AD+BD)=AC+BC即2ADBD=AC-AD+BC-BDAC-AD=CD，BC-BD=CD2ADBD=2CD CD= ADBD而AC=AD+CD=AD+ADBD=AD(AD+BD)=ADAB同理可证得BC= BDAB1010普通高中课课程数学
6、选选修4-1 第一讲讲 相似三角形的判定及有关性质质ABDCO例1 如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D.AD=2,DB=8, 求CD,AC和BC的长.1111普通高中课课程数学选选修4-1 第一讲讲 相似三角形的判定及有关性质质总结：已知“直角三角形斜边上的高”这一基本图形中的六条线段中的任意两条线段，就可以求出其余四条线段，有时需要用到方程的思想。ABDC1212普通高中课课程数学选选修4-1 第一讲讲 相似三角形的判定及有关性质质习题1.4 1.ABDC直角ABC中已知:CD=60 AD=25 求：BD,AB,AC,BC的长BD=144,AB=169,AC=65,BC=1562.(2
7、007广州一模)如图所示，圆O上 一点C在直径AB上的射影为D， CD=4，BD=8，则圆O的半径等于 _BACDO 51313普通高中课课程数学选选修4-1 第一讲讲 相似三角形的判定及有关性质质 例2 ABC中，顶点C在AB边上的射影为D，且CD=ADDB 求证证： ABC是直角三角形。ABDC证明:在CDA和BDC中,1414普通高中课课程数学选选修4-1 第一讲讲 相似三角形的判定及有关性质质3.如图，已知线段a,b.求作线段a和b的比例中项 。 a b习题1.41515普通高中课课程数学选选修4-1 第一讲讲 相似三角形的判定及有关性质质总结：1、知识：学习了直角 三角形中重要的比
8、例式和比例中项的表达式射影定理。2、方法：利用射影定理的基本图形求线 段和证明线段等积式。3、能力：会从较复杂的图形中分解出射 影定理的基本图形的能力。4、数学思想：方程思想和转化思想。平行线等分线段定理平行线分线段成比例定理推论1推论2推论1.2节例3引理预备定理判定定理3判定定理1判定定理2相似三角形概念直角三角形相似的判定定理射影定理相似三角形性质射影概念勾股定理1717普通高中课课程数学选选修4-1 第一讲讲 相似三角形的判定及有关性质质1.从特殊到一般的思考方法.数学方法:在研究数学问题时,通过考察特殊性问 题获得一般规律的猜想,并从中得到证明 一般规律的思想方法的启发;然后由特殊
9、过渡到一般,对一般性结论作出严格证明.2.化归思想方法.在研究问题时,常常通过一定的逻辑推 理,将困难的,不熟悉的问题转化为容易的 熟悉的问题.恒等变形,换元法,数形结合法, 参数法等,都是具体的化归方法.相似三角 形的证明采用了化归为预备定理的方法.1818普通高中课课程数学选选修4-1 第一讲讲 相似三角形的判定及有关性质质 习题1.42.如图，ABC中BAC=60CDAB求证：BD=AB- ACACB D601919普通高中课课程数学选选修4-1 第一讲讲 相似三角形的判定及有关性质质例2 如图，在ABC中，CDAB于D，DFAC于F，DGBE于G。 求证：CF AC = CG BC证明：CDAB，DF AC CDFCAD CFCD=CDAC CD 2 =CFAC同理可证 CD2 =CGBC CFAC=CGBC
