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1、主要内容典型例题第四章 中值定理与导数的应用习 题 课洛必达法则Rolle 定理Lagrange 中值定理常用的 泰勒公式Cauchy 中值定理Taylor 中值定理单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 最值的经济应用导数的应用一、主要内容1. 罗尔中值定理2. 拉格朗日中值定理有限增量公式.3. 柯西中值定理推论4. 洛必达法则定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 .注意：洛必达法则的使用条件.5. 泰勒中值定理常用函数的麦克劳林公式6. 导数的应用定理(1) 函数单调性
2、的判定法定义(2) 函数的极值及其求法定理(必要条件)定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数 取得极值的点称为极值点.极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.定理(第一充分条件)定理(第二充分条件)求极值的步骤:步骤:1) 求驻点和不可导点;2) 求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,哪个大哪个就是最大值,哪个小哪个就 是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)(3) 最大值、最小值问题实际问题求最值应注意:1)建立目标函数; 2)求最值;(4) 曲线的凹凸与拐点定义定理1方法1:方法2:利用函数特性描绘函数图形.第一步第二步(5) 函数图形的描绘第三步第四步确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其 他变化趋势;第五步例1解二、典型例题这就验证了命题的正确性.例2解例3证由介值定理,注意到由, 有 + ,得例4证例5证 ,则有解1其中洛必达法则解题时，注意将易求极限的因式分离出来.解2求导时保留相同的因子，约分化简， 也即相当于变量代换.解3其中注意洛必达法则适用于求某些函数的极限， 遇到数列极限的问题，可转为求相应函数的极限.例7解奇函数列表如下:极大值拐点极小值作图解解当时，设每批产量为x吨，直接消耗的费用为M，则每批生产的总费用为解：测 验 题测验题答案七、
