《抛物线的标准方程及简单性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《抛物线的标准方程及简单性质（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线抛物线。（注意：F不在I上）定点F叫做抛物线的焦点焦点。定直线L叫做抛物线的准线准线。 抛物线的定义抛物线的定义即即: : FMLNlNFM 求曲线方程 的基本步骤 是怎样的？想一想？抛物线标准方程的推导抛物线标准方程的推导回顾求曲线方程的一般步骤是：1、建立直角坐标系，设动点为(x,y) 2、写出适合条件的x,y的关系式 3、列方程4、化简5、（证明）FMlN设焦点到准线的距离为常数P(P0) 如何建立坐标系,求出抛物线的标 准方程呢？抛物线标准方程的推导抛物线标准方程的推导试一试？KxyoFMlNK设KF= p 则F（ ，0）
2、，L：x =- p 2p 2设动点M的坐标为（x，y） 由抛物线的定义可知，化简得 y2 = 2px（p0）2解：如图，取过焦点F且垂直于准线L的直 线为x轴，线段KF的中垂线为y轴 抛物线标准方程的推导抛物线标准方程的推导( p 0)方程 y2 = 2px（p0）叫做叫做 抛物线的标准方程抛物线的标准方程其中 p p 为正常数，它的几何意义是:焦 点 到 准 线 的 距 离抛物线的标准方程抛物线的标准方程即右焦点F（ ，0），左准线L：x =- p 2p 2但是，对于一条抛物线，它在坐标平面 内的位置可以不同，所以建立的坐标系 也不同，所得抛物线的方程也不同，所 以抛物线的标准方程还有其它形
3、式。方程 y2 = 2px（p0）表示的抛物线，其焦点 位于X轴的正半轴上，其准线交于X轴的负半轴抛物线的标准方程抛物线的标准方程yxo抛物线的标 准方程还有 哪些形式?想一想？抛物线的标准方程抛物线的标准方程其它形式的 抛物线的焦 点与准线呢 ？yxoyxoyxoyxo图象开口方向 标准方程焦点准线向右向左向上向下抛物线方程左右 型标准方程为 y2 =+ 2px (p0)开口向右: y2 =2px(x 0)开口向左: y2 = -2px(x 0)标准方程为 x2 =+ 2py (p0)开口向上: x2 =2py (y 0)开口向下: x2 = -2py (y0)抛物线的标准方程抛物线的标准方
4、程上下 型例1：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20x （2）y=2x2（3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0焦点坐标标准线线方程（1 ）（2）（3）（4）（5，0）x= -5（0，）1 8y= - 1 88x= 5（- ，0）5 8 （0，-2）y=2课堂练习课堂练习注意：求抛物线的焦点 一定要先把抛物线化为 标准形式例2：根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F（3，0）（2）准线方程 是x = （3）焦点到准线的距离是2解：y2 =12x 解：y2 =x 解：y2 =4x或y2 = -4x或x2 =4y或x2 = -4y 1.由于抛物线的标准方
5、程有四种形式，且每一种形式中 都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件， 就可以求出抛物线的标准方程 2.当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后， 它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点 坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程 就会有多解由例1.和例2.反思研究已知抛物线的标准方 程 求其焦点坐标 和准线方程 先定位，后定量例3：求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。AOyx解：1）设抛物线的标准方程为x2 =2py，把A（-3，2）代入，得p= 2）设抛物线的标准方程为y2 = -2px，把A（-3，2）代入， 得p= 抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = x 。课堂练习课堂练
6、习3。抛物线的标准方程类型与图象特征的对应关系及判断方法2。抛物线的标准方程与其焦点、准线4。注重数形结合的思想1 1。抛物线的。抛物线的定义定义课堂小结课堂小结5。注重分类讨论的思想例4:已知抛物线方程为x=ay2（a0)，讨论 抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？ 解：抛物线的方程化为：y2= x1 a即2p=1a4a1焦点坐标是（ ，0），准线方程是： x=4a1当a0时, ,抛物线的开口向右p 2=1 4a课后练习课后练习抛物线y2=2px(p0)的简单几何性 质：(1) 范围（2）对称性因为 p0，由方程可知 x0，所以抛物线在y轴的右 侧，当x的值增大时，|y|也 增大，这说明抛
7、物线向右上 方和右下方无限延伸以-y代y，方程不变，所 以抛物线关于x轴对称我们 把抛物线的对称轴叫做抛物 线的轴x0，yR关于x轴对称抛物线y2=2px(p0)的简单几何性 质：（3）顶点在方程中，当y=0时x=0 ，因此抛物线的顶点就是 坐标原点抛物线与它的 轴的交点叫做抛物线的顶 点.抛物线上的点与焦点的距 离和它到准线的距离的比，叫 做抛物线的离心率，用e表示 ，由抛物线的定义可知，e=1 （4）离心率原点e=1图形标准 方程焦点 坐标准线 方程范 围对称 轴顶点 坐标离心 率 yxoyxoyxoyxo（0，0）x轴e=1（0，0）（0，0）（0，0）x轴y轴y轴e=1e=1e=1x0
8、四种抛物线的标准方程的几何性质的对比四种抛物线的标准方程的几何性质的对比x0y0y0填空练习：与椭圆、双曲线的几何性质比较 ，抛物线的几何性质有什么特点？ （1）抛物线只位于 个坐标平面内，它可以无限 延伸，但没有渐近线； （2）抛物线只有 条对称轴， 对称中心； （3）抛物线只有 个顶点、 个焦点、 条准线；（4）抛物线的离心率是确定的，其值为 半1无 111 1例1 已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原 点，并且经过点 ，求它的标准方程，并用描 点法画出图形 则将M点代入得： 2 = 2p2 解得：p=2因此所求方程为：y2=4x 列表：描点及连线：oyx0 1 2 3 4 5 0 0
9、.25 1 2.25 4 6.25 解：由已知可设抛物线的标准方程为y2=2px（p0）在抛物线的标准方程y2=2px(p0)中，令x= , 则y=p。p-p抛物线的通径及简单画法p-p这就是说，通过焦点而垂直于x轴的直线与 抛物线的两交点坐标分别为 ( , p),( ,-p ),连接这两 点的线段叫做抛物线的通径，它的长为2p.这就是抛物 线方程中2p的几何意义。例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分（如 图），光源位于抛物线的焦点处已知灯口圆的直 径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点 位置 解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角 坐标系，使反光镜的顶点（抛物线的顶
10、点）与原点 重合，x轴垂直于灯口直径。 设抛物线的标准方程为y2=2px(p0).由已知可得 点A的坐标为（40，30）,代入方程得 302=2p40，解得p= 所以所求抛物线的标准方程为y2= x， 焦点坐标为（ ，0） 解:如图826,设正三角形OAB的顶点A、B在 抛物线上,且坐标分别为(x1,y1)和x2,y2),则即线段AB关于x 轴对称,因为 x轴垂直于AB,且Aox=30 练习练习1求适合下列条件的抛物线方程。 顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点M(5,-4) 顶点在原点，焦点是F(0,5) 顶点在原点，准线是x=4 焦点是F(0,-8)，准线是y=8 答案： y2= x；x2=20y；y2=-16x；x2=-32y 2一条隧道的顶部是抛物拱形，拱高是1.1m，跨度 是2.2m，求拱形的抛物线方程 提示：在隧道的横断面上，以 拱顶为原点，拱高所在的直线 为y轴（向上），建立直角坐 标系。 答案：x2=-1.1y
