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1、参数估计第七章 参数估计 参数的点估计 估计量的评选标准 正态总体参数的区间估计一。 参数的点估计一、参数估计的概念估计量；估计值由于现用它来估计未知参数，故称这种估计为点估计。是实数域上的一个点，点估计的经典方法是：(1)矩估计法(2)极大似然估计法二、矩估计法(简称“矩法”) 英国统计学家皮尔逊(K.pearson)提出1、矩法的基本思想：以样本矩作为相应的总体同阶矩的估计；以样本矩的函数作为相应的总体矩的同一函 数的估计。均值值方差标标准差总总体 E（X） D（X）样样本样样本 值值K阶阶原点矩K阶阶中心矩总总体样样本样样本 值值2、矩法的步骤：设总体X的分布为F(x;1,2,k)，k个
2、参数 1,2,k待估计，(X1,X2,Xn)是一个样本 。(1)计算总体分布的i阶原点矩 E(Xi)=i(1,2,k)，i=1,2,k，(计算到k阶矩 为止，k个参数)；(2)列方程从中解出方程组的解，记为分别为参数1,2,k的矩估计。则例.1 设总体X的均值为，方差为2，均未知。 (X1,X2,Xn)是总体的一个样本，求和2的矩估计。解解得矩法估计量为注：例.2 设总体XP()，求的矩估计。解例3 设(X1,X2,Xn)来自X的一个样本，且求a,b的矩估计。解 XU(a,b)解得矩估计为2阶中心矩矩法估计的优点：计算简单；矩法估计的缺点：(1)矩法估计有时会得到不合 理的解；(2)求矩法估计
3、时，不同的做法会得到不同的解 ；(通常规定，在求矩法估计时，要尽量使用低阶 矩)如例7.2中，不是用1阶矩，而是用2阶矩(3)总体分布的矩不一定存在，所以矩法估计不 一定有解。如三、极大似然估计法(R.A.Fisher费歇)1、极大似然估计法的基本思想 由样本的具体取值，选择参数的估计量使得取该样本值发生的可能性最大。 2、似然函数与极大似然估计设则称为该总体X的似然函数。3、求极大似然估计的步骤设总体X的分布中，有m个未知参数1,2,m，它们 的取值范围。(1)写出似然函数L的表达式如果X是离散型随机变量，分布律为P(X=x)，则如果X是连续型随机变量，密度函数为f(x)，则(2)在内求出使
4、得似然函数L达到最大的参数的估计值它们就是未知参数1,2,m的极大似然估计。一般地，先将似然函数取对数lnL，然后令lnL关 于1,2,m的偏导数为0，得方程组从中解出例4 (X1,X2,Xn)是来自总体XP()的样本，0未知， 求的极大似然估计量。解 总体X的分布律为x=0，1,2,，n设(x1,x2,xn)为样本(X1,X2,Xn)的一个观察值，似然函数对数似然函数所以是的极大似然估计值， 的极大似然估计量为例5 设(X1,X2,Xn)是来自正态总体XN(,2)的一个样 本，,2未知，求,2的极大似然估计。解 设(x1,x2,xn)为样本(X1,X2,Xn)的一个观察值，则 似然函数为解得
5、所以,2的极大似然估计量分别为思考：当已知时，四。 估计量的评选标准 一、无偏性估计量 的观察或试验的结果，估计值可能较真实的参数值偏大 或偏小，而一个好的估计量不应总是偏大或偏小，在多 次试验中所得的估计量的平均值应与真实参数吻合，这 就是无偏性所要求的。 是一个随机变量，对一次具体定义是的一个估计量，如果 有则称是的一个无偏估计。如果不是无偏的，就称该估计是有偏的。称为的偏差。例6 设总体X的k阶矩存在，则不论X的分布如何，样本k阶原点矩是总体k阶矩的无偏估计。 证明设X的k阶矩 k=E(Xk)，k1(X1,X2,Xn)是来自正态总体X的一个样本，则所以Ak是k的无偏估计.例7. 设XN(
6、,2)，其中,2未知，问,2的极大似然 估计是否为,2的无偏估计？若不是，请修正使它成 为无偏估计。 解 设(X1,X2,Xn)是取自总体X的一个样本，由例6.6知是的无偏估计不是2的无偏估计，而为2的无偏估计。二、有效性对于参数的无偏估计量，其取值应在真值附近波动，我们希望它与真值之间的偏差越小越好。 定义 设均为未知参数的无偏估计量，若则称比有效。在的所有无偏估计量中，若估计量，则称是具有最小方差的无偏显然也是最有效的无偏估计量，简称有效估计量 。为一致最小方差无偏估计量。例8 设总体XU1,，1，未知， (X1,X2,Xn)是总体X 的一个样本，(1)求的矩估计和极大似然估计；(2)上述
7、两个估计是否为无偏估计量，若不是，请修正为无 偏估计量；(3)问在(2)中的两个无偏估计量哪一个更有效？解 X的密度函数(1)的矩估计为设(x1,x2,xn)为样本观察值，则似然函数i=1,2,n令xn*=max(x1,x2,xn)，则xn*即的极大似然估计为(2)是 的无偏估计。为求先求Xn*的密度函数显然，它不是 的无偏估计，修正如下：令则是 的无偏估计。(3)当n1时，对任意 1，因此比更有效。三、一致性（相合性）在参数估计中，很容易想到，如果样本容量越大 ，样本所含的总体分布的信息越多。n越大，越能精确 估计总体的未知参数。随着n的无限增大，一个好的估 计量与被估参数的真值之间任意接近
8、的可能性会越来 越大，这就是所谓的相合性或一致性。定义 设 为未知参数 的估计量，若对任意给定的正数0，都有即以概率收敛于参数 ，则称为参数 的一致估计或相合估计量。五。 区间估计上一节中，我们讨论了参数的点估计，只要给定 样本观察值，就能算出参数的估计值。但用点估计的 方法得到的估计值不一定是参数的真值，即使与真值 相等也无法肯定这种相等（因为总体参数本身是未知 的），也就是说，由点估计得到的参数估计值没有给 出它与真值之间的可靠程度，在实际应用中往往还需 要知道参数的估计值落在其真值附近的一个范围。为 此我们要求由样本构造一个以较大的概率包含真实参 数的一个范围或区间，这种带有概率的区间称
9、为置信 区间，通过构造一个置信区间对未知参数进行估计的 方法称为区间估计。 定义 设总体X的分布函数族为F(x;), ，对于给 定的(01)，如果有两个统计量使得对一切成立，则称随机区间是的置信度为1-的双侧置信区间双侧置信下限； 双侧置信下限； 1-置信度。由定义可知，置信区间是以统计量为端点的随机区间，对于给定 的样本观察值(x1,x2,xn)，由统计量构成的置信区间 可能包含真值，也可能不包含真值，但在多次观察或试验中， 每一个样本皆得到一个置信区间，在这些区间中包含真值的区 间占100(1-)%，不包含的仅占100%。例9 设(X1,X2,Xn)是取自总体XN(,2)的一个样本，其中2
10、已 知，未知。试求出的置信度为1-的置信区间。解 由于样本均值是总体均值的极大似然估计，且故统计量由标准正态分布上p分位点的定义可知即落在区间内的概率为1-。此区间称为的置信度为1-的置信区间。u/2 O u1-/2 x(x)/2/21-从此例我们发现随机变量Z在区间的构造中起着关键的 作用，它具有下述特点：(1) Z是待估参数和统计量(2)不含其它未知参数；(3)服从与未知参数无关的已知分布。求置信区间的一般步骤的函数；一、正态总体N(,2)的均值的置信区间1、方差2已知由例7.14可知则置信度为1-的的置信区间为2、方差2未知 由于方差2未知，不能使用作为统计量用2的无偏估计量代替2则的置
11、信度为1-的置信区间为求正态总体参数置信区间的解题步骤：(1)根据实际问题构造样本的函数，要求仅含待估参数且分布已知；(2)令该函数落在由分位点确定的区间里的概率为 给定的置信度1，要求区间按几何对称或概率对称；(3)解不等式得随机的置信区间；(4)由观测值及值查表计算得所求置信区间。例10 已知某批灯泡的寿命X(单位:小时)N(,2)，现从这批灯泡 中抽取10个，测得寿命分别为 1050,1100,1080,1120,1200,1250,1040,1130,1300,1200若=0.05，求的置信区间(1)2=8，(2)未知。解(1)由于2=8，由样本观察值计算得n=10，=0.05查标准正
12、态分布表得的置信度为0.95的置信区间为1145.25，1148.75。 (2)由于2未知，由样本观察值计算得S=87.0568, n=10, =0.05，查t分布表得的置信度为0.95的置信区间为1084.72，1209.28。 1、均值已知此时2的极大似然估计为且由2分布分位点的概念可知二、正态总体N(,2)的方差2的置信区间则2的置信度为1- 的置信区间为(2)均值未知此时取可得2的置信度为1-的置信区间为例11 为测定某家具中的甲醛含量，取得4个独立的测量值的样 本，并算得样本均值为8.34%，样本标准差为0.03%，设被测总 体近似服从正态分布，=0.05，求,2的置信区间。 解 由题意：2未知，n=4，S=0.03%，查t分布表得的置信度为0.95的置信区间为8.2923%，8.3877%。 对于2 ，由于未知，查2分布表则2的置信度为0.95的置信区间为0.0002910-4，0.012510-4
