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1、关于教学设计 的思考张乃达n从两个案例谈起n一、教学理念n二、以问题为中心n三、定位与路径n四、问题与问题串n五、课例分析n从两个案例谈起“复数引入”教学中的误区n在学习本节课的过程中，复数的概念如果 单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味， 学生不易接受。因此要采用“启发探究法” 教学法，问题贯穿始终，思想贯穿始终， 探究贯穿始終，让学生积极主动地建构虚 数的概念、复数的概念、复数的分类，复 数相等的充要条件等。n n这种认识符合实际吗？探索能贯穿始这种认识符合实际吗？探索能贯穿始 终吗？终吗？教学中的误区n一、问题情境n1。通过数据展现祖国60年的辉煌成就，突显数 据对于我们生活的重要作用，从
2、而说明研究数 的重要意义，n2。数学游戏n把 6分成两部分，使两者乘积为8；n将8分成两部分，使两者乘积为10；n将10分成两部分，使两者乘积为40n从而引出实数不够用了，数的概念需要进一步 发展，实数需要扩充。数学教学案例分析（ 2011。7）讲稿.doc问题串分析：任意角三角函 数n问题：在上节教科书的学习中 ，我们已经将角的概念推广到 了任意角，现在所说的角可以 是任意大小的正角、负角和零 角那么任意角的三角函数又 该怎样定义呢？n（1）能不能继续在直角三角形中定 义任意角的三角函数？n（2）在上节教科书中，将锐角的概 念推广到任意角时，我们是把角放在 哪里进行研究的？n（3）在平面直角
3、坐标系中， 如何定义任意角的三角函数 呢？（定义？表述？）n（如果学生有困难，则提出下面的问题）n（4）终边是OP的角一定是锐角吗？如果 不是，能利用直角三角形的边长来定义吗 ？如图，如果角的终边不在第I象限又 该怎么办？n（5）我们知道，借助平面直角坐标系， 就可以把几何问题代数化，比如把点用坐 标表示，把线段的长用坐标算出来我们 还是回到锐角三角函数的问题上，大家能 不能用平面直角坐标系中角的终边上的点 的坐标来表示定义式中的三条边长呢？（ 这是一个学生可以接受的问题！）一、教学理念n n数学观、价值观、学习观、方法论数学观、价值观、学习观、方法论n数学观：数学是数学 文化背景下的思维活
4、动n思维性，突出了数学的创造性本质n文化性，突出了数学活动的继承性n多角度地（即从过程与结果、从历史与现 实、从微观与宏观等方面）、全面地认识 教学内容，从而发现它的教学价值。n对“导数”的理解：n不能简单地把导数看成是一个概念，一个定义 ，还要看到它是一个规则，一个过程、一种思 想和一段历史。n瞬时变化率n切线的斜率 n无限逼近的过程n极限的思想n以直代曲的思想n一个对象n n从过程到对象从过程到对象向量的加法的定位n定义、法则；n过程（思维）：数学化n历史（文化）：物理模型的数学化n逻辑：下定义n思想：形数结合思想运算的思想结构 化思想 模式化思想n基本构想，即按照建立数学模型的一般过程
5、组织教学。n n数学模型的建构数学模型的建构对“复数”的理解n概念：一种新的数；n过程：逻辑的建构：定义n历史：观念转变的过程；n思想：完全由思维创造的对象；对诱导公式的理解n工具：一组公式n过程：几何语言三角函数的语言n实质：用三角函数的语言表述的圆的对称 性！n历史：测量、计算诱导公式的本质n背景：诱导公式是在对三角函数周期性研 究中提出来的；n实质；“诱导公式所揭示的是终边有某种 对称关系的两个角三角函数之间的关系。 换句话说，诱导公式实质是将终边对 称的图形关系”翻译“成三角函数之间 的代数关系”。n用三角的语言表述的“圆的对称性”。价值观：对数学教育价值的 认识n知识的价值；n思维的
6、价值；n文化的价值；n应用的价值；n育人的价值。 学习观：对学习的理解n数学学习：“意义赋予”和“文化继 承” 即文化意义上的再发现的过程 。n所谓意义赋予或意义建构是指学生在学习知识时要通过 自身的（思维）活动，重新建构知识的意义，这是一个 创造和发现的过程，这就突出了思维的作用；n所谓文化继承是指学生的建构活动并不是个体的独立的 活动，而是在一定的文化背景下，即是在现代数学文化 的观念、思想、方法和思维模式（即数学传统）的指导 下进行的“再发现”活动，从而体现了文化的作用和学 习的社会化性质。（复数）行为规范：方法论n1以问题为中心有效地组织 学生投入理性探索活动；n2以数学（家）的眼光看
7、世界 创造数学文化的氛围。（复数 ）二、以问题为中心的 教学设计n n（目标与过程）（目标与过程）n以问题为中心的教学设 计n基本观点：n设计目标：把教学过程设计 成以问题为中心的教学过程。n设计过程：把问题设计看成 是教学设计的中心。n以问题为中心的含意：n数学教学应该围绕着数学问题进行 ；n数学教学过程应该组织为提出问题 和解决问题的过程； （方法论 ）n应该把有没有问题，有没有激发出 学生的思维活动当成评价教学活动 成功与否的一项标准。 （价值观 ）教学过程初始问题（提出问题）初始问题（提出问题）问问 题题 串串 （解决问题）（解决问题）数学理论（解决问题的成果）数学理论（解决问题的成果
8、）理论应用（提出新问题）理论应用（提出新问题）案例：对数函数（1）n1提出问题n问题1 指数函数存在反函数吗？特 别地，函数y=2X 存在反函数吗？n 问题1-1 是不是任何一个函数都存在反函 数？具备什么样的条件的函数才具有反函数？n 问题1-2 如何通过函数的图象来判断一个函数 是否具有反函数？n 回到问题1：指数函数具有反函数吗？n n由课题性问题和导向性问题构成的问题串由课题性问题和导向性问题构成的问题串n2.解决问题（意义建构 ）n问题2 既然指数函数的反 函数是存在的，你能说出它的 性质吗？n（根据指数函数的性质逐一列出其反函数 的性质。如：定义域、值域、单调性、恒 过点（1，0）
9、等等）n问题3 指数函数的反函数 是一个什么样的函数？你能 把它表示出来吗？特别地， 你能表示出函数y=2x的反函 数吗？问题3-1 表示函数的方法有哪 几种？问题3-2 怎样用图象法表示指 数函数的反函数？问题3-2-1 （反思）上述图象是否 表示了函数的“三要素”？问题3-3 能用列表法表示这个 函数吗？问题3-4 能用解析式表示这个 函数吗？n n问题问题3 3构成的问题串！构成的问题串！n问题4 怎样用解析法 表示指数函数的反函数 ？n（设f（x）=2X，其反函数可 以抽象地表示为y=f-1（x）。 但具体的表示尚有困难。）n问题4-1 解方程：2x=n（n 0）。n（1）当n=4，1
10、/4时，解出X；n（2）讨论n=3的情况。可以肯 定，方程的解是存在的、确定 的。利用图象可以表示出方程 的解，也可以求出它的近似值 。n3研究成果（数学理论）n给出对数符号和对数函数的定义，进而用 新引进的“专用术语”重新表述指数函数 反函数的性质。提出 问题解决问题（意义建构）数学理论特定条件下的返璞归真设计理念的转变n从呈现到生成；n从知识（主线）到（思维） 活动（主线）到问题为主线n从过细到框架n从环节到整体n以问题为主线的教学设计教材定位建构路径初始问题解决问题（问题串）n教学设计过程定位与路径n n（定位、路径、案例）定位n对教学的总体认识n对教学内容（知识）的理解n对教学（习）过
11、程的理解n对教学价值的理解n本质是对数学的理解n用一句话来概括n三角函数、向量加法、诱导公式、归纳推理归纳推理的定位n概念n技能n能力n态度n把归纳看成是一种机会，“以便 证明它或推翻它”，这就是我们 对待归纳的态度，而归纳的价值 就在于“在这两种情况之中我们 都会学到一些有用的东西。” 欧拉：纯粹数学中的观察事例 路径n课的总体构想、框架、过程n模式n中心问题、形式n案例：对数函数n向量的加法n n物理运算物理运算n n数学运算数学运算模式n形式化；普通语言数学语言n案例：函数的增减性、奇偶性、向量的概 念、向量的加法（和）、三角函数、导数 、数列、概率、独立事件、线面垂直等等n命题：正弦定
12、理、余弦定理、等比数列的 求和公式，点到直线的距离公式；两角差 的余弦公式；n方法：加法原理、乘法原理，数学归纳法 、n案例：对数函数n定位1：对指数函数的反函数的研究n路径1：反函数指数函数反函数的存 在性性质表示对数函数。n定位2：一种新的数学模型的建构n路径2：应用型问题解决问题对数 函数的原型对数函数性质应用 发现与指数函数的联系n n定位与路径定位与路径用三角函数的语言表述圆的对称性。用三角函数的语言表述圆的对称性。案例：函数的增减性n教材定位：数学模型的建构和应用n知识：刻画变化趋势的数学模型（定性）n过程：普通语言到数学语言的转换的过程 -不断形式化的过程。n路径： 形式化图象
13、升降增减函数的定 义从普通几何语言到精确的分析语言的转换n确定中心问题：什么叫做“随着时间的增大气温 逐步升高”？怎样用数学语言来 刻画它？提供背景，设置初始问题；n说出气温在哪些时间段内是逐步升高的或 逐步下 降的n进而形成问题串f (t)， t0，2410O24681 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 / 0Ct /h2 怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大气 温逐步升高”这一特征？案例：函数的单调性案例：函数的单调性问题问题1 1：说出气温在哪些时间段内是逐步升高说出气温在哪些时间段内是逐步升高 的或逐步下的或逐步下 降的？降的？主问题主问题2 2：
14、什么叫做：什么叫做“随着时间的增随着时间的增 大气温逐步升高大气温逐步升高”？怎样用数学语言？怎样用数学语言 来刻画它？来刻画它？问题问题3 3：对于任意的：对于任意的t t1 1，t t2 244，1616时，当时，当t t1 1tt2 2时，是否都有时，是否都有 f f（ t t1 1） f f（ t t2 2）呢？）呢？问题问题4 4：类比单调增函数的概念，你能给出单：类比单调增函数的概念，你能给出单 调减函数的概念吗？调减函数的概念吗？n问题5（1）你能找出气温图中的单 调区间吗？n（2）你能说出你学过的函数的单调 区间吗？nn问题6 ：证明F（X）=1/X在区间 （0，+）上是单调减
15、函数n（体会形式化的作用）n n问题问题6 6提出的背景是什么？提出的背景是什么？案例：函数的奇偶性（1）n1。问题情境n（1）观察图片（蝴蝶、对称的建筑、图 案等）；n（2）观察下列两組函数图象，从对称的 角度你发现了什么？（图象对称）n2。学生活动n观察函数值表，你看出了什么？n3。意义建构探究：图象关于Y轴对称的函数满足：对 定 义域內的任意一个X都有f (-x) = f (x).反之也成立吗？利用几何画版演示，学生观察演示过程， 突出X的任意性，产生建构定义的倾向。n4。数学理论通过讨论，得到定义。（下略） 用操作代替思维，掩盖了思维活动没有问题，也就没有思维活动n n观察观察观察观察观察！为什么观察？观察！为什么观察？n1。问题情境n观察下列两組函数图象，从对称的角度你 发现了什么？（图象对称）n函数 y = X4 + 1 的图象关于y轴对称吗？ 为什么？（具体问题）n图象的对称性在函数解析式上有什 么体现？（课题性问题）案例：函数的奇偶性（2）n n提出问题的问题串！具体问题至关重要！提出问题的问题串！具体问题至关重要！n2。意义建构n什么叫做“图象与Y轴对称”？（ 导向性问题）n怎样用分析的语言来表示 “如果点P在图象上，那 么点P关于Y轴的对称点也在图象上”？怎样表示点P（ X，Y）关于Y轴的对称点？（- X，Y）怎样表示“点P （X，Y）在图象
