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1、9.3-9.3-2 2直线与平面垂直直线与平面垂直【教学目标】正确理解和熟练掌握三垂线定理及其逆定理,并能 运用它解决有关垂直问题 【知识梳理】 1斜线长定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中, 射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较 长; 相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影也较 长; 垂线段比任何一条斜线段都短2重要公式 如图,已知OB平面于B ,OA是平面的斜线,A为 斜足,直线AC平面,设 OAB=1,又CAB=2, OAC=那么 cos=cos1cos2CDABO【知识梳理】 3直线和平面所成的角 平面斜线与它在平面内的射影所成的角,是这条斜线 和这个平面内
2、任一条直线所成的角中最小的角 一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角,叫 做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)如果直 线和平面垂直,那么就说直线和平面所成的角是直角; 如果直线和平面平行或在平面内,那么就说直线和平面 所成的角是0的角【知识梳理】 4三垂线定理和三垂线定理的逆定理 名称语语言表述字母表示应应 用三垂 线线 定 理在平面内的一条 直线线,如果和这这 个平面的一条斜 线线的射影垂直, 那么它也和这这条 斜线线垂直.证证两直线线 垂直 作点线线距 作二面角的平面角三垂 线线 定理 的逆 定理在平面内的一条 直线线,如果和这这 个平面的一条斜 线线垂直,那么它 也和这这条斜线
3、线 的射影垂直.同 上【知识梳理】 重要提示 三垂线定理和三垂线定理的逆定理的主要应用是证 明两条直线垂直,尤其是证明两条异面直线垂直, 此外,还可以作出点到直线的距离和二面角的平面 角在应用这两个定理时,要抓住平面和平面的垂 线,简称“一个平面四条线,线面垂直是关键”【点击双基】 1下列命题中,正确的是( ) (A)垂直于同一条直线的两条直线平行 (B)平行于同一平面的两条直线平行 (C)平面的一条斜线可以垂直于这个平面内的无数条直线 (D)a、b在平面外,若a、b在平面内的射影是两条相交直 线,则a、b也是相交直线2直线a、b在平面内的射影分别为直线a1、b1,下列 命题正确的是( ) (
4、A)若a1b1,则ab(B)若ab,则a1b1 (C)若a1b1,则a与b不垂直(D)若ab,则a1与b1不垂 直【点击双基】 3直线a、b在平面外,若a、b在平面内的射影是一个 点和不过此点的一条直线,则a与b是( ) (A)异面直线 (B)相交直线 (C)异面直线或相交直线 (D)异面直线或平行直线4P是ABC所在平面外一点,若P点到ABC各顶点 的距离都相等,则P点在平面ABC内的射影是ABC的 ( ) (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心5P是ABC所在平面外一点,若P点到ABC各边的 距离都相等,且P点在平面ABC内的射影在ABC的内 部,则射影是ABC的 ( ) (A)外
5、心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心【点击双基】 6P是ABC所在平面外一点,连结PA、PB、PC,若 PABC,PBAC,则P点在平面ABC内的射影是ABC 的( ) (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心7从平面外一点向这个平面引两条斜线段,它们所成 的角为这两条斜线段在平面内的射影成的角为 (90 (C) (D) 8已知直线l1与平面成30角,直线l2与l1成60角,则 l2与平面所成角的取值范围是( ) (A)0,60 (B)60,90 (C)30,90 (D)0,90【典例剖析】 例1如果四面体的两组对棱互相垂直,求证第三组对 棱也互相垂直 已知:四面体ABCD中,ABCD
6、,ADBC; 求证:ACBD;DCOBAabC【典例剖析】 例2如图,在三棱锥PABC中,ACB=90, ABC=60,PC平面ABC,AB=8,PC=6,M、N分 别是PA、PB的中点,设MNC所在平面与ABC所 在平面交于直线l (1)判断l与MN的位置关系,并进 行证明; (2)求点M到直线l的距离28APBDMNQl【典例剖析】 例3.如图,P 是ABC所在平面外一点,且PA平面 ABC。若O和Q分别是ABC和PBC的垂心, 试证:OQ平面PBC。 【典例剖析】 例4.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是直 角三角形,ABC=900,2AB=BC=BB1=a,且 A1C
7、AC1=D,BC1B1C=E,截面ABC1与截面A1B1C交 于DE。 (1)A1B1平面BB1C1C;(2)求证:A1CBC1;( 3)求证:DE平面BB1C1C。【典例剖析】 例5如图P是ABC所在平面外一点,PAPB,CB 平面PAB,M是PC的中点, N是AB上的点,AN3NB (1)求证:MNAB;(2)当APB90,AB 2BC4时,求MN的长。 (1)证明:取的中点,连结,是的中点, 【知识识方法总结总结 】 运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、斜 线在平面上的射影,而确定射影的关键又是“垂足”, 如果“垂足”,定了,那么“垂足”和“斜足”的连线就是 斜线在平面上的射影。