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1、数 学专题三 开放探究型问题开放探究型问题 的内涵：所谓开放探究型问题 是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这 四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，需要通过观 察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的条件或结论 或方法(1)常规题 的结论 往往是唯一确定的，而多数开放探究题的结论是不确定或不是唯一的，它是给学生有自由思考的余地和充分展示思想的广阔空间；(2)解决此类问题 的方法，可以不拘形式，有时需要发现问题 的结论 ，有时需要尽可能多地找出解决问题 的方法，有时则 需要指出解题的思路等对于开放探究型问题 ，需要通过观 察、比较、分析、综合及猜想，展开发散性思维，充分
2、运用已学过的数学知识和数学方法，经过归纳 、类比、联想等推理的手段，得出正确的结论 在解开放探究题时 ，常通过确定结论 或补全条件，将开放性问题转 化为封闭性问题 三个解题方法(1)条件开放型问题：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论 出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因；(2)结论开放型问题：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想、类比、猜测等，从而获得所求的结论；(3)条件和结论 都开放型：此类问题 没有明确的条件和结论 ，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中
3、进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性4 2 2(2015齐齐哈尔)如图，点B，A，D，E在同一直线上，BDAE，BCEF，要使ABCDEF，则只需添加一个适当的条件是_(只填一个即可)BCEF或BACEDF3(答案不唯一) BDFC 条件开放型问题 【例1】 已知四边形ABCD，ABCD，要得出四边形ABCD是平行四边形的结论 ，还应 具备什么条件？解：当ABCD时，只要具备下列条件之一，便可得出四边形ABCD是平行四边形(1)ADBC；(2)ABCD；(3)AC；(4)BD；(5)AB180【点评】
4、判断一个四边形是平行四边形的基本依据是：平行四边形的定义及其判定定理，而本题告诉的四边形已有一组对边平行的条件，由此可以想到：两组对边分别平行；一组对边平行且相等；一组对边平行，一组对角相等都能得到平行四边形的结论对应训练1(2014巴中)如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线 上分别取点E，F，连接BE，CF.(1)请你添加一个条件，使得BEHCFH，你添加的条件是_，并证明(2)在问题 (1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说 明理由EHFH结论开放型问题 【例2】 (2015菏泽)如图，已知ABC90，D是直线AB上的点，AD
5、BC.(1)如图，过点A作AFAB，并截取AFBD，连接DC，DF，CF，判断CDF的形状并证明；(2)如图，E是直线BC上一点，且CEBD，直线AE，CD相交于点P，APD的度数是一个固定的值吗 ？若是，请求出它的度数；若不是，请说 明理由【点评】解结论 开放型问题时 要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归纳 、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现 象，然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维能力和知识应用能力对应训练2(2015凉山州)如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点
6、，连接AG，DEAG于E，BFDE交AG于F，探究线段AF，BF，EF三者之间的数量关系，并说明理由存在开放型问题 【例3】 (2014龙东)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA，OB的长分别是一元二次方程x27x120的两个根(OAOB)(1)求点D的坐标(2)求直线BC的解析式(3)在直线BC上是否存在点P，使PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由【点评】 本题是一道典型的“存在性问题”，主要利用了解一元二次方程、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质，
7、作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，考查了等腰三角形存在的条件，有一定的开放性综合开放型问题【例4】 看图说 故事请你编一个故事，使故事情境中出现的一对变 量x，y满足图示的函数关系式，要求：指出变量x和y的含义；利用图中数据说明这对变 量变化过程的实际 意义，其中须涉及“速度”这个量解：该函数图象表示小明骑车 离出发地的路程y(单位： km)与他所用的时间 x(单位： min)的关系小明以400 m/ min的速度匀速骑了5 min，在原地休息了6 min，然后以500 m/ min的速度匀速骑车 回出发地(本题答案不唯一)【点评】解决综合开放性问题时，需要类比、试验、创新和综合运用所学知
8、识，建立合理的数学模型，从而使问题得以解决综合开放型问题的解题方法一般不唯一或解题路径不明确，要求解题者不墨守成规，敢于创新，积极发散思维，优化解题方案和过程对应训练4(2015酒泉)已知ABC内接于O，过点A作直线EF.(1)如图所示，若AB为O的直径，要使EF成为O的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出两种)：_或者_；(2)如图所示，如果AB是不过圆 心O的弦，且CAEB，那么EF是O的切线吗 ？试证 明你的判断BAE90EACABC解：(1)BAE90 EACABC，理由是：BAE90，AEAB，AB是直径，EF是O的切线 AB是直径，ACB90，ABCBAC90，EACABC，BA
9、EBACEACBACABC90，即AEAB，AB是直径，EF是O的切线 (2)EF是O的切线证明：作直径AM，连接CM，则ACM90，MB，MCAMBCAM90，CAEB，CAMCAE90，AEAM，AM为直径，EF是O的切线试题 (2014青岛)已知：如图，ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线 于点E.(1)求证：AODEOC；(2)连接AC，DE，当BAEB_时，四边形ACED是正方形？请说 明理由审题视角 (1)根据平行线的性质可得DOCE，DAOE，再根据中点定义可得DOCO，然后可利用AAS证明AODEOC；(2)当BAEB45时，四边形ACED是正方形，首先证
10、明四边形ACED是平行四边形，再证对 角线互相垂直且相等可得四边形ACED是正方形(2)当BAEB45时，四边形ACED是正方形理由：AODEOC，OAOE.又OCOD，四边形ACED是平行四边形BAEB45，ABAE，BAE90.四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD.COEBAE90.ACED是菱形ABAE，ABCD，AECD.菱形ACED是正方形故答案为：45.答题思路第一步：审题，仔细观 察图形并考虑证 明结论 所需的条件；第二步：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论 出发，逆向追索，逐步探求；第三步：找到证明结论所需的条件后，从已知条件和探索出的条件出发一步一步的证明结论；第四步：反思回顾，查看关键点、注意易错点(本题第(2)问是从BAEB45出发证得四边形ACED是正方形)，完善解题步骤
