必修一知识点及例题

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1、优优数学 高一 必修 1 刘长凤第 - 1 - 页 共 16 页必修 1 第一章 集合与函数概念（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2 ）常用数集及其记法表示自然数集， 或 表示正整数集， 表示整数集， 表示有理数集， 表示实数集.NNZQR（3 ）集合与元素间的关系对象 与集合 的关系是 ，或者 ，两者必居其一.aMaaM（4）集合的表示法自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.描述法： | 具有的性质，其中 为集合的代表元素.xx图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集.

2、含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集( ).（6）子集、真子集、集合相等名称 记号 意义 性质 示意图子集BA（或 )A 中的任一元素都属于 B(1)A A (2)(3)若 且 ，则BC(4)若 且 ，则AA(B)或B A真子集A B（或B A），且 B 中至少有一元素不属于 A （1 ） （A 为非空子集）(2)若 且 ，则BCB A集合相等 A 中的任一元素都属于 B，B 中的任一元素都属于A(1)A B(2)B AA(B)（7）已知集合 有 个元素，则它有 个子集，它有 个真子集，它有 个非空子集，它(1)n2n21n21n有 非空真子集.2n优优数学 高一 必修

3、 1 刘长凤第 - 2 - 页 共 16 页（8 ）交集、并集、补集名称 记号 意义 性质 示意图交集 AB且|,xA（1 ） A（2 ） （3 ） BBA并集 AB或|,xA（1 ） A（2 ） （3 ） BBA补集 ACU|,xA且（1 ） ACU（2 ）（3 ） )()()(BBUU（4 ） )()()(CACA【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1 ）一元二次不等式的解法判别式 24bac000二次函数 2(0)yx的图象O =OL O一元二次方程20()axbca的根21,24bacx（其中 1)x12bxa无实根优优数学 高一 必修 1 刘长凤第 - 3 - 页 共

4、 16 页20()axbca的解集或1|x2x|2bxaR2()的解集12| （2 ）含绝对值的不等式的解法不等式 解集|(0)xa|xa|或|,|(0)axbcc把 看成一个整体，化成 ，axb|xa型不等式来求解|(0)(9)映射的概念设 、 是两个集合，如果按照某种对应法则 ，对于集合 中任何一个元素，在集合 中都有ABfAB唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合 ， 以及 到 的对应法则 ）叫做集合 到BfA的映射，记作 :f给定一个集合 到集合 的映射，且 如果元素 和元素 对应，那么我们把元素AB,aAbab叫做元素 的象，元素 叫做元素 的原象ba(10)函数的概念设 、

5、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 ，对于集合 中任何一个数 ，在集合fAx中都有唯一确定的数 和它对应，那么这样的对应（包括集合 ， 以及 到 的对应法则B()fx B）叫做集合 到 的一个函数，记作 fAB:fAB函数的三要素:定义域、值域和对应法则只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数(11)区间的概念及表示法是两个实数，且 ，满足 的实数 的集合叫做闭区间，记做 ；,ababxbx,ab优优数学 高一 必修 1 刘长凤第 - 4 - 页 共 16 页满足 的实数 的集合叫做开区间，记做 ；axbx(,)ab满足 ，或 的实数 的集合叫做半开半闭区间，分别记做 ， ；

6、abx ,)ab(,满足 的实数 的集合分别记做 ,xx,)(,注意：对于集合 与区间 ，前者 可以大于或等于 ，而后者必须 |(,)a (12)求函数的定义域时，一般遵循以下原则： 是整式时，定义域是全体实数()fx 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合()fx对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1 中， tany()2kZ零（负）指数幂的底数不能为零若 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数()fx的定义域的交集对于求复合函数定义域问题，一般步骤

7、是：若已知 的定义域为 ，其复合函数 的()fx,ab()fgx定义域应由不等式 解出()agxb对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义(13)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然

8、后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值判别式法：若函数 可以化成一个系数含有 的关于 的二次方程()yfxyx，则在 时，由于 为实数，故必须有2()()0ayxbc0ay,，从而确定函数的值域或最值4()y不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值优优数学 高一 必修 1 刘长凤第 - 5 - 页 共 16 页换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法(14)函数的表示方法表示函数的方法

9、，常用的有解析法、列表法、图象法三种常见函数图象：函数解析式 图象及相关性质（单调性、对称性）正比例函数一次函数反比例函数优优数学 高一 必修 1 刘长凤第 - 6 - 页 共 16 页勾形函数 ()(0)afx二次函数Y=|x|函数Y= x优优数学 高一 必修 1 刘长凤第 - 7 - 页 共 16 页3xy(15)函数的单调性定义及判定方法函数的性 质 定义 图象 判定方法如果对于属于定义域 I内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x 2,当x1f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数y=f(X)yxo x x2f(x ) f(x )1（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（

10、3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数对于复合函数 ，令 ，若 为增， 为增，则 为增；()yfgx()ugx()yfu()gx()yfgx若 为减， 为减，则 为增；若 为增， 为减，则()yfuffu为减；若 为减， 为增，则 为减gx()yf()x()yx(16) 最大（小）值定义一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：（1）对于任意的 ，都有()yfxIMxI；（2）存在 ，使得 那么，我们称 是函数 的最大值，记作()fxM0I0(

11、)fx()fma一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：（1）对于任意的 ，都有()yfxImxI优优数学 高一 必修 1 刘长凤第 - 8 - 页 共 16 页；（2）存在 ，使得 那么，我们称 是函数 的最小值，记作()fxm0xI0()fxm()fxa(17) 函数的奇偶性定义及判定方法函数的性 质 定义 图象 判定方法如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有f(x)=f(x),那么函数f(x)叫做奇函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）函数的奇偶性 如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有f(x)=f(x),那么

12、函数f(x)叫做偶函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于 y 轴对称）若函数 为奇函数，且在 处有定义，则 ()fx0x(0)f奇函数在 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在 轴两侧相对称的区间增减性相反y y在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数） ，两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数第二章 基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根，其中 1，且 *axnxannN负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记

13、作 。0n当 是奇数时， ，当 是偶数时，nann)(|aa2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：，)1,0(*nNmanm )1,0(1* nNmaanmn0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义优优数学 高一 必修 1 刘长凤第 - 9 - 页 共 16 页3实数指数幂的运算性质（1） ra sr （2）rsra)(（3） a0rrba)（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数，其中)1,0(yx且x 是自变量，函数的定义域为 R2、指数函数的图象和性质a1 01 0a1优优数学 高一 必修 1 刘长凤第 - 10 - 页 共 16 页32.5

14、21.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-1 1 2 3 4 5 6 7 832.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-1 1 2 3 4 5 6 7 8定义域 x0 定义域 x0值域为 R 值域为 R在 R 上递增 在 R 上递减函数图象都过定点（1，0） 函数图象都过定点（1，0）三、幂函数1、幂函数定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数xy)(a2、幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（1，1） ；（2） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数特别地，当 时，幂 ),01函数的图象下凸；当 时，幂函数的图象上凸；10（

15、3） 时，幂函数的图象在区间 上是减函数在第一象限内，当 从右边趋向原点时，),0(x图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴yyxx第三章 初等函数的应用方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数)(Dxfy0)(xfx的零点。)(Dxfy2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴)(xfy)(xf )(xfy交点的横坐标。即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点0)(xf)(f)(f3、函数零点的求法：（代数法）求方程 的实数根； 1 )(xf（几何法）对于不能用求根公式的方程