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1、2-4、混沌简介2-4-1、历史混沌是非线性动力系统的一种特殊的运动状态系统是确定性的，即，系统一般可由已知的方程描述;系统具有内在随机性，任一时刻，任一地点，状态不确定;系统对初值敏感;系统宏观稳定-内在规律。动力系统：系统中的一些参量随着时间按一定规律变化。1罗仑兹 (Lorenz) 在50年代末提出大气动力模型，有十二个联立的方程。六十年代初用计算机研究大气变化发现系统对初值极为敏感。提出蝴蝶效应（ 正 确 否）。1963 年，近代混沌研究的里程碑。在19世纪末，庞加来(Poincare) 研究星球的三体问题时注意到了混沌状态。2有人认为混沌是第三次革命：认为人类不可能完全准确地预言很远
2、的将来。第一次：不能超越光速；第二次：测不准。混沌是具有内在规律性的混乱。正常人的脑电图是混沌状态，而精神病人的脑电图确具有简单的周期特征。3经典分析力学是决定论：已知支配方程和初始条件，可以准确确定未来的状态。混沌理论认为高维非线性问题应用类似统计力学方法来处理。湍流产生机理是一个非线性动力学问题, 是一个百年难题混沌理论提供了一个研究的方法42-4-2、离散系统对离散时间变量的动力学系统，可用迭代方程来表达。xn+1 = M(xn ) n=0,1,2,3,其中xn 是系统的状态参量，如：是某种生物经过n次繁衍后的数目；M是一个确定的规则。可逆的迭代，即有 xn = N(xn+1)。如果是可
3、逆的迭代，有混沌的充分条件是：系统的维数大等于1。 5简单的例子, 一维系统, 抛物线xn+1 = bm xn (1-xn ) 0 非线性系统的控制参数bm 起着重要的作用动力学系统的平衡态：状态参数保持不变。xs = bm xs (1- xs )对于抛物线方程描述的系统，平衡态表示为xs 被称为不动点 6稳定平衡态当xn =xs+a, a 是一个小量, 经过迭代状态参数回到不动点xs 被称为稳定不动点 例：当 1 0这样的系统就是对初值敏感，并且可以出现混沌状态。h被称作是Lyapunov指数222-4-6、声学混沌空化效应：声波破坏了液体中的液汽平衡态而出现了空穴和气泡。局部有上千大气压。
4、温度可达10万度。可用于清洗。液体23随着电压的增加出现倍周期图驱动频率: 23.56kHz , 或 71 kHz电压: 0 60 V上升时间: 262 ms采样率: 500 kHz24驱动频率： 23.56kHz电压： 43V, 采样频率： fs = 1 MHz在压力空间 p(kt), p(kt-T), p(kt-2T) 中观察k = 1,2,3,. 4096, t = 1/fs , T = 5 s在延迟坐标系的相空间分析: 出现类似奇异吸引子25三维曲线，旋转15 度观看26分形理论是描述不规则事物的规律性的科学混沌反映了系统在时间上的复杂性，分形反映了系统在空间上的复杂性。分形的最重要的
5、一个特征之一是： 整体形状和内部结构的自相似性2-5、分形2-5-1、分形维数27这条曲线长度为无穷大，但占据面积为零。如科赫曲线把一条直线三等分，把中间的直线用两边等长的折线代替，以后在每条直线上都如此处理得到科赫曲线。有规分形：数学上严格定义的自相似28无规分形：统计意义上的自相似如扩散置限凝聚(Diffusion-Limited Aggregation)模型简称DLA模型 1981由Witten和Sander提出：在二维方形点阵的中央放一静止的种子；边界上随机释放一个粒子，让它作无规行走，直到和种子接触固定；再释放新粒子，重复以上过程；最后可以形成一个分形的图形。29已经证明这个图形有统
6、计意义上的自相似。DLA模型描述了众多的物理、化学和生物过程所形成的结构30一个直线段L，用长为r尺子度量结果为一个平面A，用度量单位r2 测量，结果为对体积度量有类似的结果。分形的主要描述参量是分形维数测量一个物体的尺寸时要用与该物体相同维数的尺去度量维数的定义31测量维数为D的物体X ，尺寸的大小由下式得到上式两边取对数整理得到32对于科赫曲线，迭代k次后有r = (1/3)k,N(r) = 4k从维数的定义式可以确定科赫曲线的维数是维数定义为：对于面积的测量 N(r) =A/r2科赫曲线介于一维和二维之间33但粒子数目的多少会影响结果的普适性变窗口法。如在DLA模型中，取边长为L的窗口，
7、数其中的粒子数，在不同的位置上重复多次，粒子数取平均记为N(L)；改变L的大小，重复上述过程，得到对应的N(L)；当L 时就有无规分形的维数在有些物理学问题中, r 是确定的, 而宏观尺度 L 却是在增长N(L) LD34具有分形结构的介质被称为分形介质在分形介质中有一些反常现象如扩散变慢。逾渗模型 用来描述流体在无序介质中作随机的扩散和流动.2-5-2、 分形子(fracton)35例:二维方形点阵的点被随机充填, 一个点被充填的概率为 P, 当 P Pc (逾渗阈值) 时得到一个逾渗集团集团中被充填的点相互联结，没有间断。36逾渗集团是一种分形介质的模型用来研究无序材料中的扩散、电导、断裂
8、等物理过程37同时粒子密度满足连续性方程经典扩散理论粒子在均匀各向同性介质中作布朗运动是粒子通量，D 是扩散系数，n 是粒子密度结合上两式得到扩散方程如果粒子密度不均匀，粒子的运动要满足费克定律 （Ficks Law）38引入归一化的分布函数P，如果初始条件为：N是总粒子数。扩散方程变成则一个粒子在时刻t在r出现的几率为d是空间维数 39粒子从原点出发，经过时间t又回到原点的概率是另外，粒子位移的均方差为40根据上面两个结果 粒子从原点出发，经过时间t又回到原点的概率 可以重写为41如果推广到具有分形结构的介质中去， 粒子只能在逾渗集团上行走,这时有其中Df 是分形维数，上式可以改写成其中是分
9、形子Dw是反常扩散指数，在欧几里得空间 Dw =2。42材料在一定尺度上出现分形特征，从均匀向分形过渡有特征长度。声波波长大于分形特征长度时声波具有声子的性质，声波波长小于分形特征长度时声波具有分形子的性质。Alexander Orbach 猜想是一个普适常数432-6、孤粒子波非线性也会使波的形状不变。孤粒子波的历史1834 年英国科学家罗素观察到孤波1895年，Korteweg 和他的学生de Vries得到孤波方程KdV方程2-61、孤粒子波概述44孤波是非线性偏微分方程在局部存在的稳定的解。也称作为孤立子波上世纪七十年，数值解认识到孤波的性质有人用孤波解来描述基本粒子的运动还有其他孤波
10、方程如：Sine-Gordon方程描述指向波452-6-2、基本方程二维问题，水槽深H，波高为A，宽为L，沿着x方向传播求水波表面轮廓方程速度场:vx 和 vy 分别为 x 和 y 方向上的质点速度分量。HALhxy046(2)运动方程上式中 p 是压力， g 是重力加速度， 是 密 度。(1)连续方程: (2-6-1)(2-6-2)47流体的运动无旋根据线性运动方程，可以引入速度势函数。速度分量为可以有速度势函数Q使(2-6-3)48假定流体不可压缩 = const 所以势函数Q必须满足2Q = 0(2-6-4)从连续方程得49边界条件结合基本方程是非线性的：(一) 在水表面 y = h(x
11、,t)处，压强为零 p = 0 (2-6-5a)(二) 在水底 y = H 处，质点速度的垂直分量为零vy = 0(2-6-6)问题：求h的表达式y 方向的质点速度分量为或(2-6-5b)50在水表面 y = h(x,t)处，压强为零 p = 0利用速度势函数，运动方程在边界上变成上式对x求导，再变成质点速度的分量式有(2-6-7)512-6-3、KdV方程2Q = 0在 yH在 yh在 yh(2-6-5b)(2-6-4)(2-6-7)(2-6-6)52把 Q 对 y 展开，Q(x,y,t) = （yH）n Qn(x, t) n=0,1,2,根据 (2-6-4) 有利用水底的条件 (2-6-6
12、) 得到Q1 = 0(2-6-8)从（2-6-8）得到下标为奇次的项为零（一）对y的解53从(2-6-8)可得到下标为偶数的项可用Q0 来表示，所以有 其中f不依赖于y(2-6-8)54假定H L，A H无量纲化 令 a = A/H, b=(H/L)2x = Lz, t = L/c , h = Ah, f = acf,其中浅水重力水波波速 c2 = gH（二）求轮廓h依赖于x的方程55在 yh在 yh(2-6-5b)(2-6-7)在水面上,边界条件(2-6-5b)(2-6-7)无量纲化, 保留到三阶小量有(2-6-9)(2-6-10)56讨论线性问题,略去含 a, b 项，得到(2-6-9)(
13、2-6-10)线性水波57从上两个方程必有即变换到x,t空间得到线性波动方程或58包含非线性， 采用微扰法代入到(2-6-9)和（2-6-10)，两式再相减，得到因为和b是相互独立的两个括号分别等于零给出解非线性波59把以上解代入到边界方程 (2-6-10)有(2-6-11)60取伴随坐标令 X = z - , T = b/6(2-6-11)两边乘以 9/b2从(2-6-11)得到 KdV 方程令(2-6-12)（三）KdV方程及其解61孤波解试解代入到(2-6-12)中得到最后有62632-6-4、 讨论孤波的波速v大于浅水重力波速c振幅越大孤波速越大水越深孤波速越小64线性波的波包由积分表
14、达在波导中，一般波是色散的，波形会变宽。孤波解给出在时空中波形不变的波包。65考虑一个沿正方向传播的波方程相速度非色散解为66从2-2节的解有传播速度是振幅的函数，波形出现压缩如果把c换成f 有得到KDV方程中的非线性部分67相速度色散，波形要扩散考虑KdV方程中的另外两项解为并且68色散和非线性相互作用保持了一个集中的波形。但不是所有非线性波都是孤立子692-1、非线性受迫振动的特点是什么？2-2、请说明为什么非线性波的振幅会由简谐波变成锯齿波2-3、请说明如何求冲击波出现的距离2-4、试设计一个可能观察跳跃现象的非线性受迫阻尼振动系统习题：70习题：2-5、试研究方程a1，的非线性特性2-
15、6、混沌的三个主要特征是什么？2-7、为什么孤子波可以传播很远？71M. Remoissenet, Waves called Solitons, Springer-Verlag BerlinHeidelberg, 1994E. Infeld and G.Rowlands, Nonlinear waves, Solitons and Chaos, Cambridge University Press, 2nd Edition 2000G.L.Lamb, Elements of Soliton Theory, John Wiley and Sons, 1980V.G.Makhankov, Soliton Phenomenology, Kluwer Academic Publishers, 1990. 72
