《结构力学》骨干教师培训

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1、力学骨干教师高级研修 结构力学内容哈工大-王焕定研讨内容 关于变形体虚功原理 关于实验结构力学 精细化分析与模型修正 （限于时间无法研讨，但 PPT包含此内容）虚功原理（数学恒等关系）虚位移原理虚力原理势能原理余能原理两变量广义余能原理两变量广义势能原理三变量广义势能原理三变量广义余能原理三变量含可选参数广义变分原理两变量含可选参数广义变分原理无条件势能原理力给定， 虚位移任 意独立位移给定，虚应力 任意独立放松格式放松格式换元乘子 两变量广义余能原理格林公式对偶对偶换元、放松格式格林公式对偶等价格式等价格式参数为零参数为零退化，参数 特殊选择退化等价平衡等价协调三变量广义势能原理换元乘子弹性

2、力学各变分原理之关系 一个受力平衡变形体发 生一个任意虚位移条件改变条件改变关于变形体虚功原理 的正确阐述 引言 表述 证明 说明问题的引出众所周知，变形体的虚功原理是最基本的变形 体力学原理之一，在结构力学中具有重要的意 义，是结构位移计算和互等定理的基础。 就其在结构力学中的具体应用来说，不管原 理如何阐述，因为各种应用实际上都只涉及原 理的必要性，因此并不存在问题。 但正如范钦珊教授在一篇教学论文中所说“课 堂教学质量的第一要素是教学内容的科学性”， 如果教师所讲授的是一错误或含糊的概念，显 然这对提高教学质量是有害的。 鷲津久一郎将其称为散度定理，由此出发建立 并证明了虚功原理和余虚功

3、原理（即为我们熟 悉的虚位移和虚力原理）。 问题的引出现已出版的结构力学教材数量很多，关于虚功 原理的表述大体上可以分为四大类: 虚功原理是一充分必要性命题； 虚功原理仅仅是必要性命题，但它有两种“应 用”虚位移原理和虚力原理； 虚功原理是一充分必要性命题但只证明必要 性部分； 虚功原理仅仅是必要性命题，它和虚位移原 理、虚力原理是有异同的。 这里指的是鹫津久一郎的散度定理那到底变形体虚功 原理告诉我们什么？ 它的科学表述应该是 什么样的呢？这就需 要给出回答1 龙驭球等 结构力学教程IM 高等教育出版 社 2000 2 杨茀康等 结构力学M 高等教育出版社 1998 3 李廉锟 结构力学M

4、高等教育出版 2004 4 王焕定等 结构力学M 高等教育出版社 2000 5 萧允徽等 结构力学M 机械工业出版社 2006 6 杨仲候等 结构力学M 高等教育出版社 1992 7 朱伯钦等 结构力学M 同济大学出版社 1993远不止这些！任何一个受外荷处平衡的变形体，当发 生任意一个虚位移时，变形体所受外荷在 虚位移时所作的总虚功We ，恒等于变形 体所接受的总虚变形功Wi 。也即恒有如 下虚功方程成立We= Wi （1） 变形体虚功原理正确的表述前提条件之一前提条件之二应有的结论显然是一个必要性命题需要注意前提中有两次任意变形体虚功原理的证明因为本原理适用于一切可变形物体，为不失一 般性

5、，证明按二维平面物体来说明。首先，将变形体分割成若干部分（可以是有限 分割，也可以是无限分割微元体）如图变形体虚功原理的证明对任意一个分割部分来说，其上可能受有原有 的外荷载，为便于区别以后简称为外荷或者外 力。 此外还有因为切割而暴露出来的相邻部分间的 作用、反作用力，以后称为切割面内力。 切割面内力对 隔离体来说是 外力。 切割面内力对 整个变形体来 说是内力。 这应该没有问题对吗？变形体虚功原理的证明根据前提条件之一，受荷变形体是平衡的，因 此其上所作用的全部（包含支承反力）作用力 是平衡的，任何一个隔离体上受力也平衡。 根据前提条件之二，处于平衡的变形体发生了 虚位移。按虚位移定义它满

6、足约束条件、 光滑连续，相邻隔离体共同边界位移协调。 这也不应该没有问题对吗？这有问题吗？变形体虚功原理的证明证明的基本思想是：按两种方案计算平衡变形 体在发生虚位移时外力所做的总虚功，无疑应 该“异途同归”，即两者应该相等。 首先看第一种计算方案： 隔离体上所受到的外界作用（包括其他隔离体 的作用）通称为“外力”，隔离体的虚位移分解 成刚体和变形两类虚位移。 隔离体上 “外力” 虚位移时所做 总虚功也应该分成刚体和变形两 类总虚功。 外力在刚体虚位移上做了多 少功呢？ 根据刚体虚位移原理它应该 等于零。由此，将每个隔离体的外力 总虚功累加起来，可得 W总 = W变这有问题吗？W变的物理意义为

7、：所有隔 离体上的“外力”在隔离体 变形虚位移上所做的总虚功 ，王光远院士将其称为变形 体所接受的总虚变形功。变形体虚功原理的证明现在再看第二种计算方案： 隔离体所发生的虚位移不分解，它是光滑连续、 在相邻隔离体间是协调的。而将隔离体上所受的 外力区分成外荷载和隔离体切割面内力，因此 W隔 = W荷 W切由此可得 W总W隔 W荷 W外当将全部隔离体外力功累加起来时 W切？ 由于相邻隔离体切割面内力是作用反 作用关系，因此它应该等于零。W外 = We=W变 = Wi两种方案计算同一物理量结果自然应该相等， 故这有问题吗？都没问题，我们的表述证毕关于变形体虚功原理的说明有人曾问第一种计算方案中 全

8、部外力也同样存在切割面内 力，相邻隔离体间切割面内力 也是作用和反作用关系，它在 虚位移时为何不相互抵消？在所示整体虚位移时，在切割面处虚位移是连 续的。 而当将虚位移分解成刚体虚位移和变形虚 位移时，由图所示显然在切割面处均是不光滑 连续的。 因此，作用反作用关系的切割面内力在 变形虚位移时所做的总虚功就无法相互抵销。关于变形体虚功原理的说明1）虚功原理中涉及两种状态：一个是变形体处于 平衡的力状态；另一个是不管产生位移原因的满足 协调条件的位移状态。 2）证明过程没有用到“变形体”的力学性质，因此 本原理对任意力-变形关系（力学中常称为本构关系 ）的可变形物体都适用。 3）证明过程也没有限

9、制变形体的形状、组成，因 此本原理对杆件体系结构、平面和空间结构、板壳 结构及各种组合形式的结构等等都适用。因此它是 力学中的一个普遍原理。 此时原理告知：存在外力总 虚功恒等于总虚变形功的结论，是必要性命题。关于变形体虚功原理的说明4）虚功原理是一个必要性命题，个别教材上说它 是一个充分必要性命题是没有根据、是错误的。 有 人说可以证明其充分和必要性，那首先要请问：这 个充分、必要性的命题如何表述。 别忘了，现在的 命题是：一个受力平衡的变形体与一个协调的虚位 移间一定存在外力功恒等于总虚变形功。在这一对一的情况下，充分性命题是什么？难 道是虚功方程成立就能使一个变形体既平衡又虚位 移协调？

10、这可能吗？ 有人可能说现在的命题是“任 意一个”受力平衡的变形体和“任意一个”协调的虚位 移，两者都是任意的，并非一个对一个。关于变形体虚功原理的说明如果是这样那是否原理的命题应改为：任意变形 体平衡和任意虚位移协调的充分必要条件是外力总 虚功恒等于变形体所接受的总虚变形功，也即虚功 方程恒成立？！ 那么首先需证任意不管受力是否平衡的变形体， 发生不管是否协调的虚位移时，都能有外力功恒等 于总虚变形功这个必要性命题。如果 有人仍坚持说可以证明，那请拿出具体证明过程来 ，以便大家再就具体证明过程来进行讨论。我们认为既“不平衡 ”又“不协调”的前提下显然是证明不了外力总虚功恒 等于所接受总虚变形功

11、的。必要性命题都证明不了 ，要证明充分性命题这难道不是开玩笑吗！关于变形体虚功原理的说明5）有人说变形体虚功原理只是质点系虚位移原理 主动力所做总虚功等于零的变形。 王光远院士曾指出 “不同学科所研究的对象、内容不同，因此所用的方 法、所得结论自然也不同” 。 理论力学研究对象是质 点、质点系，刚体和刚体系等离散体系，研究内容 是它们的机械运动规律。 变形体或称连续介质力学 研究的对象是连续体，对固体而言所研究的内容是 强度、刚度和稳定性问题。所用的方法是连续函数 的相关数学理论，与离散体系的研究是有质的区别 的。 显然，试图将变形体力学与质点、刚体力学混 为一谈是不妥的。关于变形体虚功原理的

12、说明又有人说虚功原理是平衡变形体上的力系，在任何 协调的虚位移上所做总虚功等于零如果以二维变形体为例。经推演4可得任意变形体 上的力系在任何协调虚位移上所做的总虚功为如果上述命题成立，则因为变形体平衡，第一和第 三个积分由平衡方程和边界条件可知为零，因此，即外力虚功与 内力虚功的和等于零。4又由于平衡变形体上的力系是任意，因此三 个应力分量是任意、独立的，所以可得也即所发生的虚位移只能是刚体虚位移。关于变形体虚功原理的说明三个应力分量，平衡只两个微分方程和应力边界 条件，因此是“超静定”的，任意应力分量视作“ 基本”未知量时可有无限多种解答，而上式对这无 限多种解答恒成立。上式又对任意荷载均成

13、立，不同荷载下其应力解 答是毫无关系的。综上所述，对某一虚位移状态， 上式虚应变分量前面的应力是包含一切可能值的。可能有人要说应力任意性我赞同，但是因为它要 满足平衡方程和边界条件，因此不能说是独立的。是否正确？尚可再讨论关于变形体虚功原理的说明6）Wi只是引入的一个记号，它表示全部外力（ 外荷载及切割面内力）在变形虚位移上所做功的总 和。在每个隔离体里的内力功是相互抵消的、是反 应不出来的。而隔离体的切割面内力是其他物体 对隔离体的作用，是外力。在取微元体（或微段） 分析时，由于微元体上外荷载在变形虚位移上所作 的功是高阶小量，因此总虚变形功等于应力（或内 力）在虚应变（或虚变形）上所作的功

14、。故可以把 总虚变形功Wi称为内力功，这也即采用Wi记号的 原因。 但是如果将其物理实质理解为“内力功”， 王光远院士早就指出那是错误的 。应用分析动力学关于变形体虚功原理的说明7）在一些结构力学教材和弹性力学等教材中，还 介绍了变形体的虚位移原理、变形体的虚力原理（ 这是一对对偶的原理）等，这两原理实质上是由变 形体虚功原理改变前提条件后所派生出来的。 但 是，有的教材不加说明称为“应用”，这要看如何来 理解“应用”。当理解成原理前提发生改变，由此结 论也改变，但其必要性命题部分实质就是虚功原理 ，这是正确的。而如果仅按常规理解“应用”，不 强调前提、结论的变化，必要性命题一应用是不可 能变成充分必要性命题的。 指出这些原理间的异 同对初学者是非常必要的。 关于变形体虚功原理的说明8）矩阵位移法也称杆系有限单元法，它可以用虚 位移原理或势能原理来建立单元分析、整体分析等 列式。但有的教材、资料对作为有限元基础的原理 ，无论是表述还是证明，都有可商榷之处。