《系统仿真技术》第3章

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1、系统仿真技术 System Simulation Technology第3章 连续系统的数值仿真算法1连续系统的数值仿真 在工程领域中，连续系统是最常见的系统，其仿真方法是系统仿真技术中最基本、最常用和最成熟的。 连续系统的数学模型通常以微分方程或微分方程组的形式出现。 如何将连续系统的数学模型转换成计算机可接受的等价仿真模型，采用何种方法在计算机上解此模型，这是连续系统计算机仿真要解决的问题。 2什么叫做数值计算？ 数值计算方法，是一种研究并解决数学问题的数值近似解方法， 是在计算机上使用的解数学问题的方法，简称计算方法。 计算方法既有数学类课程中理论上的抽象性和严谨性，又有实用性和实验性的

2、技术特征， 计算方法是一门理论 性和实践性都很强的学科。 在70年代，大多数学校仅在数学系的计算数学专业和计算机系开设计算方法这门课程。 随着计算机技术的迅速发展和普及， 现在计算方法课程几乎已成为所有理工科学生的必修课程。 3数值计算的对象 计算方法的计算对象是微积分，线性代数，常微分方程中的数学问题。 内容包括：插值和拟合、数值微分和数值积分、求解线性方程组的直接法和迭代法、 计算矩阵特征值和特征向量和常微分方程数值解等问题。 4线性系统常用的数学模型 常微分方程 传递函数模型 状态方程 偏微分方程5常微分方程线性常微分方程模型是连续系统仿真中连续时间模型的基本形式，它表现了系统输入输出之

3、间的关系。u=0，即系统没有输入函数时，成为齐次微分方程。 线性常微分方程模型是连续系统仿真中连续时间模型的基本形式，它表现了系统输入输出之间的关系。前面讲过的RLC电路系统就是使用这种形式建立模型。 6传递函数模型 传递函数是研究系统动态相应性能的重要模型，它只 与系统本身的结构、特性和参数有关，而与输入量的 变化无关，故称为系统的外部模型。 7状态空间 状态变量技术是利用n个一阶微分方程去替换一个n阶 微分方程。 8状态空间 系统的状态空间模型不仅描述了系统输入和输出之间的关系，而且也描述了系统的内部状态。由控制理论可知，常微分方程模型中可以引进不同组合的状态变量，因此可以产生多个不同的状

4、态空间模型，即一个系统的状态空间模型不是唯一的。sys=ss(A,B,C,D) 9偏微分方程 如果一个微分方程中待求解的未知函数含有多个自变量，方程中出现多元函数对不同自变量的各阶导数，那么这样的微分方程就称为偏微分方程。二阶偏微分方程的一般形式是10数学模型之间的转换 函 数 名函 数 功 能ss2tf将系统状态空间模型转换为传递函数模型ss2zp将系统状态空间模型转换为零极点增益模型tf2ss将系统传递函数模型转换为状态空间模型tf2zp将系统传递函数模型转换为零极点增益模型zp2ss将系统零极点增益模型换为状态空间模型zp2tf零极点增益模型换为传递函数模型11微分方程的特点 系统微分方

5、程的共性之一是线性元件和线性控制系统 的运动方程是常系数线性微分方程ODE（Ordinary Differential Equations)。ODE的解很少能用初等函数及其不定积分的组合表示。 12微分方程数值解的基本思想 我们知道一个连续系统的数学模型可以用一个高阶微分方程来表示，而高阶微分方程可以用一个微分方程组表示。因此，只要通过讨论一阶微分方程数值求解的基本方法则可以推广应用。微分方程数值解的基本思想有两点，即离散化和递推化。13微分方程的离散化 微分方程的离散化指用泰勒级数、数值积分和差商逼 近导数等手段，把微分方程转化为离散的代数方程(称差分方程)。考虑标量微分方程： 已知初始条件

6、 ，微分方程离散化常用方法有以下几种。14离散化 用差商代替微商 15离散化 数值积分 用数值积分方法离散化： 对右端积分采用取左端点的矩形公式 则有 其中，（n=0,1,）16离散化 泰勒展开法 取h的线性部分，且得的近似值： 泰勒展开法不仅可得到求数值解的公式，且容易估计截断误差。 17递推化 微分方程的递推化指在具有唯一解的条件下，通过步进法逐步计算出解在一系列离散点上的值，从而得到原微分方程的数值近似解。18连续系统数值积分法的基本原理 连续系统数值积分法就是利用数值积分法对微分方程（组）建立离散化形式的数学模型，即差分方程，并求其数值解。该方法应用的前提是：把被仿真系统表示成一阶微分

7、方程组或状态方程的形式。19连续系统数值积分法的基本原理 一阶向量微分方程及初值条件为：所谓数值解法，就是对上式表示的初值问题寻求其准确解在一系列离散点 上的近似解 ，也就是数值解。相邻两个时间离散点的间隔 称为计算步长，通常设为定值。20连续系统数值积分法的基本步骤 （1）把连续变量问题用数值积分方法转化为离散的差分方程的初值； （2）根据已知的初始条件Y0，逐步地递推计算下一刻的数值解Yi(i=1,2,)。 基本的数值积分方法有三类：单步法、多步法和预估-校正法。 21基本数值积分方法 基本的数值积分方法有三类：单步法、多步法和预估-校正法。 如果由当前时刻的数值yn，就能求得后一时刻的数

8、值，此外不需要其它时刻的任何信息，称这种方法为单 步法。显式的单步法是可以自启动的；为了求得tn+1 时刻的近似值，不仅需要知道tn时刻的值yn，而且还要用到过去时刻tn-1,tn-2处的数据，称这种方法为多步法。 22单步数值积分法 欧拉法 这是最简单的一种数值积分方法，最早是欧拉（Euler）提出来的，常称为欧拉法，又因它是用折线近似实际的曲线，故也称为折线法。可以从三个侧面推导出欧拉法数值解近似公式。 23欧拉法 泰勒级数展开 对于假定y(t)为其解析解。将y(t)展成泰勒级数取前两项得写成差分方程 24欧拉法 矩形近似解法 对于 在区间上tn,tn+1求积分，得 若把积分间隔取得足够小

9、，使得在tn,tn+1上f(t,y)可以近似地看成常数f(tn,yn) ,那么就可以用矩形面积近似地代替该区间上的曲线面积 25欧拉法 矩形近似解法 即 该方法实质上是将曲线f(t,y)看成阶梯函数。26欧拉法 切线近似 在tn的一个小邻域(tn-,tn+)内，曲线y(t)可以用tn处的切线来表示，y(t)在tn处的斜率为 则y(t)在tn处的切线方程为27欧拉法 切线近似 取tn+1=tn+t，十分靠近，利用上述切线方程 可获得tn+1处y(t)的近似值yn+1： 令 写成差分方程形式为 28欧拉法 欧拉法虽然十分简单，但计算精度比较低。为了提高精度，唯一的办法是减少步距，但是跟着又会出现新

10、的问题：计算机字长有限，计算中免不了产生舍入误差，步距小，不仅计算工作量大了，而且由于计算次数增多，舍入误差也加大，因此计算精度很难提高，所以这方法在要求仿真精度较高时很少采用。29数值积分的基本概念 1）数值解法：就是寻求初值问题的真解在一系列离散点t1 4时，RK公式的最高阶数不是r，如r=5时仍为4，r=6时RK公式的最高阶数为5。 (2）RK方法的导出基于泰勒展开，故要求所求问题的解具有较高的光滑度。 当解充分光滑时，四阶RK方法确实优于改进欧拉法。对一般实际问题，四阶RK方法一般可达到精度要求。如果解的光滑性差，四阶RK方法的效果不如改进欧拉法。43龙格-库塔（Runge-Kutta

11、）特点 有两点说明如下： (1）当r=1，2，3，4时，RK公式的最高阶数恰好是r，当r4时，RK公式的最高阶数不是r，如r=5时仍为4，r=6时RK公式的最高阶数为5。 (2）RK方法的导出基于泰勒展开，故要求所求问题的解具有较高的光滑度。 当解充分光滑时，四阶RK方法确实优于改进欧拉法。对一般实际问题，四阶RK方法一般可达到精度要求。如果解的光滑性差，四阶RK方法的效果不如改进欧拉法。44线性多步法 单步法特点是在计算n1时刻的值yn+1 时，只用到第n时刻yn和fn的值。但实际上在逐步递推的过程中，计算yn+1之前已经获得一系列的近似值y0，y1，yn及f0,f1,f2, fn 等。如果

12、能够充分利用历史时刻的一些数据来求解，则可望既可加快仿真速度又能获得较高的仿真精度。这就是构造多步法的具体出发点。 45线性多步法 多步法中最常用的是线性多步法，它的计算公式中只出现 及的 一次项，其一般形式为 其中 均为常数， 。 若 为显式； 为隐式。 构造线性多步公式常用泰勒展开和数值积分方法。46数值解法稳定性的含义 连续系统的数值仿真实际上就是将给定的微分方程变换成差分方程，然后从初值开始进行迭代运算。当采用数值积分方法求解稳定的微分方程时，应该保持原系统的稳定特征。所谓数值解的稳定性，是指在扰动（初始误差、舍入误差、截断误差等）影响下，其计算过程中的累积误差不会随计算步长的增加而无

13、限增长。47数值解法稳定性的特点 由于各类误差都会在计算过程中传播下去，对以后的计算结果产生影响，所以如果计算步长选择不合适，有可能使数字仿真结果出现不稳定的现象，也就失去了数字 仿真的意义。对于给定的步长h，如果计算结果对初始误差或计算误差不敏感，就说该算法是稳定的；否则就说是不稳定的。对于不稳定的算法，误差会恶性膨胀，最后导致计算结果发散，仿真失败。 动态系统的特性也影响仿真的稳定性。假设非线性系统可以在一个平衡点附近稳定且积分步长足够小，积分算法就可以达到稳定。48例题 考虑一阶系统： 要求采用欧拉法求其数值解。 解：设计算步长为h，则欧拉递推公式为： a.当h0.2时，|1-10h|1

14、，递推结果显然是发散的； b.当h=0.2时，数值解显等幅振荡趋势；c.当0h0.2时，递推结果是收敛的。 49例题 物理意义如下: (1)它是稳定的，其时间常数为0.1,解析解为： (2)用欧拉法对它进行仿真，当步长h=0.2时之所以不稳定，是由于步长太大从而引起截断误差过大造成的； (3)上述的临界步长0.2正好是系统时间常数的2倍。50数值积分法的选择与计算步距的确定 积分方法的选择因素 ： (1)精度要求 (2)计算速度 (3)数值解的稳定性 51积分步长的确定 步长太大会导致较大的截断误差，甚至会出现数值解的不稳定的现象；步长太小增加了计算次数，造成舍入误差的积累，使总误差加大。总之

15、，步长既不能太大也不能很小。一般来说数字仿真的总误差不是步长的单调函数，而是一个具有极值的函数， 52积分步长的确定 用E表示总误差，它与步长h之间的函数关系为e，则：存在一个最佳步长 ,使得总误差最小，即 H为步长h的一个合理取值区间。53积分步长的确定 在实际仿真中，对于那些变化比较平稳的慢变量，步长的改变对它们的积分总误差的影响并不很明显。然而对于那些变化剧烈的快变量来说，当对它们进行积分运算时所产生的总误差对步长的改变却很敏感。因而，在确定积分方法以后，选择积分步长时，需要考虑的一个重要的因素就是系统的动态响应特性，对变化剧烈的快变量，不仅要选择高阶的计算方法，而且要取较小的积分步长。 54步长控制的要求 1）容许误差越大，仿真的精度越低。一般容许误差应当在0.1到1e-6之间。 2）最大步长足够小，则仿真的精确度比较好，最大步长比较大，可能出现不稳定。 3）仿真的最小步长，是仿真开始的步长。设置的过小，如系统不连续，在不连续处容易产生过多的点，会