近代著名的数学三大难题一.费尔马大定理二.四 色 猜 想 三.歌德巴赫猜想安徽省安庆市第三中学 xuesil 法国人费尔马（Pierre de Fermat, 1601-1665）虽然学 的是法律，从事的也是律师的职业，但他对数学却有浓厚 的兴趣，在业余时间常读数学书，并自己从事一些数学研 究他在阅读希腊数学家丢番图（Diophontus）的《算术 》一书中论述求解 的一般解的问题时，在书的空 白处，用笔写下这样的心得：“反过来说不可能把一个立 方数分拆为两个立方数的和，一个四方数分拆成两个四方 数之和更一般地，任何大于二的方数不能分拆为同样方 数的两个之和我已发现了一个绝妙的证明，但因为空白 太小，写不下整个证明”用数学语言来表达，费尔马的 结论是：l 当n≥3时, 没有正整数解一.费尔马大定理19世纪初实际上只有n = 3，n = 4两种情况得到证明 n = 3 的情况是瑞士大数学家欧拉（Leonard Euler, 1707- 1783） 在1753年给出的，后来人们在费尔马的所有资料中只找到了 他利用自己创造的无穷下降方法，证明n = 4 的情况。
而n = 5 的情况则是在经历了半个多世纪，到1823年至1825年才首次 完全被人们证明费尔马大定理对当时的数学家是一个最大的挑战为了表 示学术界对它的重视，1816年法国科学院首次为费尔马大定 理设立了大奖许多大数学家，其中包括当时顶尖的数学家， 法国的高斯和法国的柯西都曾热衷于这个问题在早期尝试解决费尔马大定理的英雄豪杰里有一位巾帼英 雄，她是德国的苏菲·日尔曼（Sophie Germain, 1776-1831） 小时候她是一个很害羞、胆怯的女孩，靠自学阅读来研究数 学由于当时女姓在数学上受到歧视，她就用一个男性化名同 一些大数学家通信，其中包括高斯和勒让德，她的才能使得这 些一流的数学家大为惊讶l 猜想提出后，经欧拉等数代天才努力，200年间 只解决了n＝3,4,5,7四种情形1847年，库木尔创立 “代数数论”这一现代重要学科，对许多n（例如100 以内）证明了费尔马大定理，是一次大飞跃l 历史上费尔马大定理高潮迭起，传奇不断其 惊人的魅力，曾在最后时刻挽救自杀青年于不死 他就是德国的沃尔夫斯克勒，他后来为费尔马大定 理设悬赏10万马克（相当于现在160多万美元），期 限1908－2007年。
无数人耗尽心力，空留浩叹最 现代的电脑加数学技巧，验证了400万以内的N，但 这对最终证明无济于事1983年德国的法尔廷斯证 明了：对任一固定的n，最多只有有限多个a、b、c ，振动了世界，获得费尔兹奖（数学界最高奖）l 历史的新转机发生在1986年夏，贝克莱·瑞波特证明了: 费尔马大定理包含在“谷山丰—志村五朗猜想 ” 之中童年 就痴迷于此的怀尔斯，闻此立刻潜心于顶楼书房7年，曲折 卓绝，汇集了20世纪数论所有的突破性成果终于在1993 年6月23日剑桥大学牛顿研究所的“世纪演讲”最后，宣布证 明了费尔马大定理，当时震动世界，普天同庆不幸的是 ，数月后逐渐发现此证明有漏洞，一时更成世界焦点这 个证明体系是千万个深奥数学推理连接成千个最现代的定 理、事实和计算所组成的千百回转的逻辑网络，任何一环 节的问题都会导致前功尽弃1994年9月19日，星期一的早 晨，绝境搏斗的怀尔斯在思维的闪电中突然找到了迷失的 钥匙：答案原来就在废墟中！他热泪夺眶而出怀尔斯的 历史性长文“模椭圆曲线和费尔马大定理”1995年5月发表在 美国《数学年刊》第142卷，实际占满了全卷，共五章， 130页1997年6月27日，怀尔斯获得沃尔夫斯克勒10万马 克悬赏大奖。
离截止期10年，圆了历史的梦他还获得沃 尔夫奖(1996.3），美国国家科学家院奖（1996.6），费尔兹 特别奖（1998.8） 返回l四色猜想的提出来自英国1852年，毕业于伦敦 大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色 工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都 可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不 同的颜色这个结论能不能从数学上加以严格证明呢 ？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试兄弟二 人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可 是研究工作没有进展1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请 教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能 找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、 著名数学家哈密尔顿爵士请教哈密尔顿接到摩尔根 的信后，对四色问题进行论证但直到1865年哈密尔 顿逝世为止，问题也没有能够解决二.四 色 猜想• 1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦 敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界 数学界关注的问题世界上许多一流的数学家都纷纷 参加了四色猜想的大会战1878～1880年两年间，著 名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四 色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四 色猜想从此也就解决了。
11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确 计算指出肯普的证明是错误的不久，泰勒的证明也 被人们否定了后来，越来越多的数学家虽然对此绞 尽脑汁，但一无所获于是，人们开始认识到，这个 貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的 难题：先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示 四色猜想之谜铺平了道路进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上 是按照肯普的想法在进行1913年，伯克霍夫在肯普的 基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939 年证明了22国以下的地图都可以用四色着色1950年， 有人从22国推进到35国1960年，有人又证明了39国以 下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加 之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程 1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学 的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100 亿个判断，终于完成了四色定理的证明四色猜想的计算 机证明，轰动了世界它不仅解决了一个历时100多年的 难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点不 过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还 在寻找一种简捷明快的书面证明方法。
返回哥德巴赫猜想（Goldbach Conjecture） 大致可以分为两个猜想(前者称“强”或“二 重哥德巴赫猜想,后者称”弱“或”三重哥德 巴赫猜想)：1.每个不小于6的偶数都可以表示为 两个奇素数之和；2.每个不小于9的奇数都可以表示为 三个奇素数之和 三.歌德巴赫猜想哥德巴赫（Goldbach ]C.，1690.3.18~1764.11.20）是德 国数学家1729年~1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十 五年的书信往来在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了一个命 题他写道：“我的问题是这样的：随便取某一个奇数，比如 77，可以把它写成三个素数之和：77=53+17+7；再任取一个 奇数，比如461，461=449+7+5，也是三个素数之和，461还 可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和这样，我发现： 任何大于7的奇数都是三个素数之和但这怎样证明呢？虽然 做过的每一次试验都得到了上述结果，但是不可能把所有的奇 数都拿来检验，需要的是一般的证明，而不是个别的检验欧拉回信说：“这个命题看来是正确的”但是他也给不 出严格的证明同时欧拉又提出了另一个命题：任何一个大于 6的偶数都是两个素数之和。
但是这个命题他也没能给予证明 哥德巴赫猜想的由来不难看出，哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论 若欧拉的命题成立，则偶数2(N-1)可以写成两个素数之和 ，于是奇数2N+1=3+ 2(N-1),可以写成三个素数之和，从而，对 于大于5的奇数，哥德巴赫的猜想成立但是哥德巴赫的命题成立并不能保证欧拉命题的成立因 而欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想 由于看似如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意200年过去了，没有人证明它也没有任何实质性进展哥 德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可即的“明珠” 人们对哥德巴赫猜想难题的热情，历经两百多年而不衰世界上 许许多多的数学工作者，殚精竭虑，费尽周折，至今仍不得其 解l 到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近 1920年挪威数学家布朗用一种古老的筛选法证明， 得出了一个结论：任何大于特定大偶数N的偶数都 可以表示为两个殆素数之和的形式，且这两个殆素 数只拥有最多9个素因子所谓“殆素数”就是素数 因子(包括相同的与不同的)的个数不超过某一固定 常数的奇整数例如，15＝3×5有2个素因子，27＝ 3×3×3有3个素因子。
此结论被记为“9+9”这种缩 小包围圈的办法很管用，科学家们于是从“9十9”开 始，逐步减少每个殆素数里所含素因子的个数，直 到使每个殆素数都是奇素数为止 l 目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年 证明的，称为陈氏定理：“任何充分大的偶数都是一 个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数 的乘积通常都简称这个结果为 （1 + 2） l 1920年，挪威的布朗证明了“9 + 9” l 1924年，德国的拉特马赫证明了“7 + 7” l 1932年，英国的埃斯特曼证明了“6 + 6” l 1937年，意大利的蕾西先后证明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366” l 1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5 + 5” l 1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4 + 4” l 1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1+ c”，其中c是一很大的自然数 l 1956年，中国的王元证明了“3 + 4” l 1957年，中国的王元先后证明了 “3 + 3”和“2 + 3” l 1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1 + 5”， l 中国的王元证明了“1 + 4”。
l 1965年，苏联的布赫 夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了“1+3 ” l 1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ” 返回歌德巴赫猜想大事记：。