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1、专题九 圆圆是平面几何的重要图形，也是中考的热点与必考内容它综合直线形、多边形于一体，知识点多，覆盖面广，具有极强的综合性，思维能力要求较高这类试题通常借助圆的对称性和旋转不变性，考查与圆有关的概念、性质、位置关系(尤其是切线的性质与判定)，进行相关问题(正多边形、弧、扇形、圆锥等)的计算、作图、证明与探究解决问题的关键是在具体情境中，综合运用所学知识(三角形、四边形、圆等)，借助圆的性质、与圆有关的位置关系等，添加适当的辅助线构建相等的角、相等的边，或转化为直角三角形，或将立体图形(圆锥)转化为平面图形(扇形)进行分析与解决与圆有关的计算、操作题例1：(2013 年广西玉林)如图 Z9-1，
2、ABC 是O 内接正三角形，将ABC 绕O点顺时针旋转30得到DEF，DE分别交 AB，AC 于点 M，N，DF 交 AC 于点 Q，则以下结论：DQN30；DNQANM；DNQ 周长等于 AC 的长；NQQC.其中正确的结论是_(把所有正确的结论的序号都填上)图 Z9-1解析：DF 是 AC 旋转 30后的位置，DQN30.故正确如图 Z9-2，连接 OB，OE，OA，DA，BOE30，AOB120.AOE90.ADE45.DQN30，EDQ60，DNQ90.AND90.NAD45.ANDN.又MANQDN60，ANMDNQ，DNQANM.故正确如图Z9-2，DF 交 BC 于点 G，由可得
3、DNNA，DNQCGQ.DQQC.DNQ 周长DNNQQDANNQQCAC.故正确答案：图 Z9-2名师点评：本题以圆内接等边三角形的旋转操作为手段，在具体操作情境中酝酿、发现与探究圆的有关性质、计算，借助与圆有关的角及旋转不变性探究有关线段、角、三角形全等、大小(周长、面积)的变与不变的关系，进而考查同学们的动手操作能力几何图形的空间想象能力及逻辑推理能力圆与函数图象的综合例 2：(2013 年山东济宁)如图Z9-3，在平面直角坐标系中，12 x以 P 为圆心，PO 为半径的圆与坐标轴分别交于点 A，B.(1)求证：线段 AB 为P 的直径；(2)求AOB 的面积；(3)如图Z9-4，Q是反
4、比例函数y12 x(x0)图象上异于点 P的另一点，以 Q 为圆心，QO 为半径画圆与坐标轴分别交于点C，D.求证：DOOCBOOA.O为坐标原点，P是反比例函数y(x0)图象上任意一点， 图 Z9-3图 Z9-4思维分析：(1)AOB90，由圆周角定理的推论，可以证明 AB 是P 的直径；(2)将AOB 的面积用含点P 坐标的表达式表示出来，容易计算出结果；(3)对于反比例函数上另外一点Q，Q与坐标轴所形成的COD 的面积，依然不变，与AOB 的面积相等(1)证明：AOB90，且AOB 是P 中弦AB 所对的圆周角，AB 是P 的直径(2)解：设点 P 的坐标为(m，n)(m0，n0)，12
5、xmn12.如图Z9-5，过点P 作 PMx 轴于点M，PNy 轴于点N，则OMm，ONn.图Z9-5由垂径定理可知，点 M 为 OA 中点，点 N 为 OB 中点，点P是反比例函数y(x0)图象上一点，名师点评：求三角形的面积就是利用点P 的横坐标与纵坐标的积为k，同理若反比例函数系数为k，则可以证明P 在坐标轴上所截的两条线段的乘积等于4k；对于另外一点Q 所形成的Q，结论依然成立与圆有关的动态题例3：(2013 年湖北宜昌)半径为 2 cm 的O 与边长为 2 cm的正方形 ABCD 在水平直线 l 的同侧，O 与 l 相切于点 F，DC 在 l 上(1)过点 B 作O 的一条切线 BE
6、，E 为切点，填空：如图 Z9-6，当点 A 在O 上时，EBA 的度数是_；如图 Z9-7，当 E，A，D 三点在同一直线上时，求线段OA 的长；(2)以正方形 ABCD 的边 AD 与 OF 重合的位置为初始位置，向左移动正方形(图 Z9-8)，至边 BC 与 OF 重合时结束移动，M，N 分别是边 BC，AD 与O 的公共点，求扇形 MON 的面积的取值范围图 Z9-6图 Z9-7图 Z9-8解：(1)如图Z9-6，切线BE 是O 的切线，OEBE 于E.又OAABOE2，易得EBA30.如图Z9-7，直线l 与O 相切于F，OFD90.在正方形ADCB 中，ADC90，.OFAD.OF
7、AD2，四边形OFDA为平行四边形OFD90，平行四边形OFDA为矩形DAAO.在正方形ABCD 中，DAAB，O，A，B三点在同一直线上方法一，E，A，D三点在同一直线上，EAOB.OEB90，OEBEAO.又EOBAOE，EOABOE.方法二，在RtOAE 中，cosEOAOA OA OE 2，在RtEOB 中，cosEOBOE 2 OB 2OA，图Z9-9过O 点作OKMN 于 K，MON2NOK，NM2NK.在RtONK 中，sinNOKNK ONNK 2，NOK 随NK 的增大而增大，MON 随 MN 的增大而增大当MN 最大时MON 最大，当MN 最小时MON 最小当N，M，A 分别与D，B，O 重合时，MN 最大，MN名师点评：解题的关键在于运用运动和变化的眼光，去观察和研究问题，关注运动与变化中的不变量、不变关系、特殊关系或范围
