第三章_循环群_群的结构

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1、电子科技大学 计算机科学与工程学院UESTC Press 第三章 循环群、群的结构第三章 循环群、群的结构电子科技大学 计算机科学与工程学院UESTC Press 第三章 循环群、群的结构第三章 循环群、群的结构3.1 循环群（重要） 3.2 剩余类群（掌握） 3.3 子群的陪集（掌握） 3.4 正规子群、商群（重要）电子科技大学 计算机科学与工程学院UESTC Press 第三章 循环群、群的结构方阵集合 该集合对于矩阵的普通乘法是一个群，单位元是电子科技大学 计算机科学与工程学院UESTC Press 第三章 循环群、群的结构复数域上的8次方程z81=0的根集合 ，k=0，1，2，7 是一

2、个乘法群，单位元1。元素e2k/8的方幂。 ，k=0，1，2，3是一个子群 计算 方幂电子科技大学 计算机科学与工程学院UESTC Press 第三章 循环群、群的结构Z=0, 1, 2,.关于加法构成群，单位元为 0. 元素1的k倍。电子科技大学 计算机科学与工程学院UESTC Press 第三章 循环群、群的结构存在群不能由一个元素生成； 存在由一个元素生成的有限群； 存在由一个元素生成的无限群。电子科技大学 计算机科学与工程学院UESTC Press 第三章 循环群、群的结构3.1 循环群定义1 如果一个群G里的元素都是某一个元 素g的幂，则G称为循环群，g称为G的一个 生成元由g生成的

3、循环群记为(g) 无限循环群可表示为： ,g2，g1，g0，g1，g2,，其中g0 = e 有限n阶循环群可表示为： g0，g1，g2，gn1，其中g0 = e 注意：以之对应的是有限生成群，即：有限 个元素生成整个群。电子科技大学 计算机科学与工程学院UESTC Press 第三章 循环群、群的结构循环群是交换群对于循环群G中两个任意元a、b，存在i, j满 足a=gi, b=gj。ab = gigj = gi+j = gj+i = gjgi = ba, 所以循环群一定满足交换律，是交换群（ Abel群）电子科技大学 计算机科学与工程学院UESTC Press 第三章 循环群、群的结构有限循

4、环群的性质在n阶循环群中，则 gn = e 证明：如果gn e，假设gn = gi (0in1)，则 由消去律得 gni = e (0nin1)， 这与n阶循环群的定义矛盾电子科技大学 计算机科学与工程学院UESTC Press 第三章 循环群、群的结构有限循环群简单性质由n阶循环群gn = e，我们可以得到：设i，j是 任意整数， 1）如果i j (mod n)，则 gi = gj 2）gi的逆元 gi = gni电子科技大学 计算机科学与工程学院UESTC Press 第三章 循环群、群的结构元素的阶及其性质 1）a的所有幂两两不相等，于是以a为生成元的循环群 ，a2，a1，a0 = e，

5、a1，a2，是无限循环群 2）反之，存在整数ij，使 ai = aj， 则 aij = e 这表明存在正整数k = ij使 ak = e 我们称使上式成立的最小正整数n称为元素a的阶 注意：在第1种情况下，这样的正整数不存在，称a是无限阶 元素而第2种情况，n是k的因子。电子科技大学 计算机科学与工程学院UESTC Press 第三章 循环群、群的结构元素的阶及其性质a是n阶元素，则序列 a0 （= e），a1，a2，an1 两两不相同，而且a的一切幂都包含在这个序列中。 证明：（反证法）如果 ai = aj，0 j i n1， 则aij = e，而0 ij n1，这与a是n阶元素矛盾 对于任

6、意整数m，am都包含在上面的序列中m可表示为： m = qn + r，0rn， 于是 am = aqn + r = (an)qar = ar， 因为ar在上面的序列中，则am也在上面的序列中 电子科技大学 计算机科学与工程学院UESTC Press 第三章 循环群、群的结构元素的阶及其性质定理1 一个群G的任意元素a都能生成一个循环群，它是G的 子群如果a是无限阶元素，则a生成无限循环群；如果a 是n阶元素，则a生成n阶循环群 证明 设a的幂集合为S 1）a是无限阶元素情形 对于任意ai，ajS (i，j = 0，1，2，)，有 ai(aj)1 = aijS， 由定理2 (page 22)，S

7、是G的子群 2）a是n阶元素情形 对于任意ai，ajS (i，j = 0，1，2，)，有 aiaj = ai+jS， 由定理3 (page 23) ，S是G的子群 显然S是a生成的循环群定理证毕 显然无限循环群的元素都是无限阶元素 有限循环群生成元的阶就是群的阶 电子科技大学 计算机科学与工程学院UESTC Press 第三章 循环群、群的结构元素的阶及其性质定理2 对于n阶元素a有 1）ai = e，当且仅当ni 2）ak的阶为 n/(n,k) 证明 n阶元素a生成n阶循环群： a0 = e，a1，a2，an1 1）由于ni，则i 0(mod n)， 于是ai = a0= e 反之，由 i

8、= qn + r，0rn， 得ai = aqn+r= (an)qar = ear= ar = e， 而n是使ak = e的最小正整数，所以r = 0，故ni电子科技大学 计算机科学与工程学院UESTC Press 第三章 循环群、群的结构注意:在证明元素a的阶为k的过程中分2步： 1) ak = e(单位); 2) 任意 i 满足ai = e，则 k | i.电子科技大学 计算机科学与工程学院UESTC Press 第三章 循环群、群的结构元素的阶及其性质2）设l = n/(k,n) 由于(k，n)k，则 由1）有(ak)l = akl = e 而对任意的 i，如果 (ak)i = aki =

9、 e， 则nki，因为所以 故 是使(ak)i = e 成立的最小正整数证毕电子科技大学 计算机科学与工程学院UESTC Press 第三章 循环群、群的结构元素的阶及其性质 由定理2我们可以直接得出 推论 由元素g生成的n阶循环群G中任意元素gk (0kn1)的阶为n/(n,k)，当k，n互素时，gk的阶 为n，也是G的生成元 例2 8阶循环群各个元素的阶分别为： g0：1，g：8，g2：4，g3：8，g4：2，g5：8，g6：4，g7：8其中共有4个生成元g，g3，g5，g7电子科技大学 计算机科学与工程学院UESTC Press 第三章 循环群、群的结构欧拉函数(n)整数集合0，1，2，

10、n1中与n互素的数 有(n)个（ (n)欧拉函数），因此n阶循 环群共有(n)个n阶元素或(n)个生成元 电子科技大学 计算机科学与工程学院UESTC Press 第三章 循环群、群的结构思考题当n = pq，p，q是两个素数，求(n)？电子科技大学 计算机科学与工程学院UESTC Press 第三章 循环群、群的结构循环群与其子群定理3 1）循环群的子群是循环群，它或者 仅由单位元构成，或者由子群中具有最小 正指数的元素生成，即生成元为具有最小 正指数的元素； 2）无限循环群的子群除e外都是无限循环群 ； 3）有限n阶循环群的子群的阶是n的正因子， 且对n的每一个正因子q，有且仅有一个q阶

11、子群电子科技大学 计算机科学与工程学院UESTC Press 第三章 循环群、群的结构循环群与其子群证明1） 设H是循环群(g)的一个子群 假设He，H自然是循环群假设He，则有i0使giH ，又因为gi=(gi)1H，所以可以假定i0，说明有正指数 存在(存在性) 设s是H中的最小正指数，即s是使gsH的最小正整数，我们 现在证明H = (gs)对于任意gmH，有 m = qs+t，0ts， 由于gqs= (gs)qH（子群H的封闭性，q个gs连乘也属于H） ，所以 gt = gm(gqs)1H， （gqs存在逆元，且由于封闭性，gm，(gqs)1乘积属于H） 由于s是使gsH的最小正整数，

12、因此得 t = 0，gm(gs)q H的任意元素都是gs的幂，则H = (gs) 电子科技大学 计算机科学与工程学院UESTC Press 第三章 循环群、群的结构循环群与其子群证明2）当(g)是无限循环群时，如果n m，则gn gm，于是gms (m=0，1，2，)两两不同，H是 无限循环群 证明3）假设(g)是n阶循环群，设s是H中的最小正指 数，即s是使gsH的最小正整数。由于n = qs+t， 0ts，则e = gn = gqs+t， 于是 gt = (gqs)1H， s的最小性使得t = 0，所以 n = qs， H可表示为H = e，gs，g(q1)s 当s = n时H = e 电

13、子科技大学 计算机科学与工程学院UESTC Press 第三章 循环群、群的结构循环群与其子群前面不仅证明了H的阶q是n的正因子，而且 给出n的正因子q阶子群当q跑遍n的所有 正因子时，s也跑遍n的正因子，所以对于n 的每一个正因子q，都有而且仅有一个q阶 循环子群电子科技大学 计算机科学与工程学院UESTC Press 第三章 循环群、群的结构如何构造循环群的子群？G是n阶循环群，g是G的生成元，d|n, 如何构 造d阶循环群？设n=d d，群（gd）的阶为d?（gd）的阶为d!电子科技大学 计算机科学与工程学院UESTC Press 第三章 循环群、群的结构循环群与其子群例3 8阶循环群G

14、的真子群 8的所有正因子为1，2，4，8相应的子群分别 为 e，e，g4， e，g2，g4，g6， G 其中e和G是群G的平凡子群电子科技大学 计算机科学与工程学院UESTC Press 第三章 循环群、群的结构3.2 剩余类群剩余类的概念： 根据同余的概念，我们可以将全体整数Z进行 分类：设m是正整数，把模m同余的整数归 为一类，即可表示为 a = qm+r， 0 r m， q = 0，1，2，的整数为一类，称为剩余 类，剩余类中的每个数都称为该类的剩余 或代表，r称为该类的最小非负剩余电子科技大学 计算机科学与工程学院UESTC Press 第三章 循环群、群的结构剩余类群例 m = 8，

15、r = 5的剩余类为5，18+5，28+5，38+5 ， 这样我们将全体整数按模m分成m个剩余类： 这m个剩余类可分别表示为：= 0，m，2m，3m，；= 1，1m，12m，13m，；= 2，2m，22m，23m，； = (m1)，(m1)m，(m1)2m，(m1)3m， 这m个剩余类称为模m剩余类记为Zm电子科技大学 计算机科学与工程学院UESTC Press 第三章 循环群、群的结构剩余类群设 和 是两个模m的剩余类，定义剩余类的加法 如下：如Z8的两个剩余类 和电子科技大学 计算机科学与工程学院UESTC Press 第三章 循环群、群的结构剩余类群定理1 模m的全体剩余类集合对于剩余类加法构成 m阶循环群 证明 封闭性和结合律显然满足 是单位元， 的逆 元是故剩余类集合是一个群该群是一个循环