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1、牵引运动坐标系间的变换中国科学院力学研究所吴中祥提要给出各?质点 ?粒子牵引运动坐标系间的变换，及其变换的不变性，和物理定律的协变性的普遍规律， 具体对于经典物理学（仅限于3 维空间） 牵引运动坐标系间的变换，就是伽利略变换，及其变换的不变性。指出： 4 维时空 1线矢和时空多线矢的有关问题各有不同的特性，将另文具体讨论。关键词：坐标系，牵引运动，坐标系间的变换1牵引运动坐标系间的变换，及其变换的不变性，和物理定律的协变性当物体本身的尺度相对其运动和相互作用时空的尺度，可以忽略，就可处理为?质点?粒子。 甚至，各星体那样本身的尺度相当大的物体，在宇宙间的相互作用，也可以当作质点处理。各?质点?
2、粒子的运动都是相对的，位置、距离，速度、动量，力等矢量的应，且能，由相应的坐标系确定表达。任何 2 个牵引运动的 ?质点?粒子，由观测坐标系向牵引运动坐标系的变换，是由观测坐标系牵引运动矢量，A矢，各方向余弦组成的正交归一矩阵表达，而使观测坐标系的任意矢量， A*矢的模长， a*= 变换到牵引运动坐标系的相应矢量，A矢的模长， a，即：相应变换前后各该矢量模长不变，有该变换的不变性，以及变换前后物理定律的协变性。不按相应的变换正确处理?质点?粒子的运动就会出现各种错误。2经典物理学牵引运动坐标系间的变换经典物理学按所谓 ?绝对时间?观点， 认为 时间与参考系无关，仅用 3 维空间矢量 （其各维
3、分量又都是时间的函数）处理各种问题。(1)3 维空间各矢量，及其模长的表达3 维空间任意矢量：A(3)1线矢 =Ajj,1线基矢 ,j=1到 3 求和 ，其模长：A(3) =(Aj2,j=1到 3 求和 )(1/2)，A(3) 单位 1 线矢 =Ajj,1线基矢 ,j=1到 3 求和 /(Aj2,j=1到 3 求和 )(1/2)，距离（或位置、长度）矢量：r(3)1线矢 =rjj,1线基矢 ,j=1到 3 求和 ，其模长：r(3) =(rj2,j=1到 3 求和 )(1/2)，r(3)单位 1 线矢 =rjj,1线基矢 ,j=1到 3 求和 /(rj2,j=1到 3 求和 )(1/2)，距离（
4、或位置、长度）的微分：dr(3)1线矢 =drjj,1线基矢 ,j=1到 3 求和 ，其模长：dr(3) =(drj2,j=1到 3 求和 )(1/2)，时间的微分： dt ，距离（或位置、长度）的时间导数=速度：v(3)1线矢 =dr(3)/dt1线矢 =drj/dtj,1线基矢 ,j=1到 3 求和 =vjj,1线基矢 ,j=1到 3 求和 ，动量：p(3)1线矢 =mv(3)1线矢 =mdr(3)/dt1线矢 =mdrj/dtj,1线基矢 ,j=1到 3 求和 =pjj,1线基矢 ,j=1到 3 求和 ，运动力 =动量的时间导数：量纲是：MLT(-2)f(3)1线矢 =dp(3)/dt1
5、线矢 =d(mvj)/dtj,1线基矢 ,j=1到 3 求和 =fjj,1线基矢 ,j=1到 3 求和 ，偏分 (3)1线矢 =( 偏/ 偏 rj)j,1线基矢 ,j=1到 3 求和 ，量纲是： L(-1)a(标量 ) 的梯度 (3)= 梯度 (3)a( 标量 )1 线矢 =( 偏 a( 标量 )/ 偏 rj)j,1线基矢 ,j=1到 3 求和 ，量纲是： L(-1)A(3)1线矢 的散度 = 偏分 (3)1线矢 点乘 A(3)1线矢 =( 偏 Aj/ 偏 rj),j=1到 3 求和 ，量纲是： A(3) 的量纲乘 L(-1)A(3)1线矢 的旋度 =偏分 (3)1线矢 叉乘 A(3)1线矢
6、=( 偏 Ak/ 偏 rl-偏 Al/ 偏 rk)j,1线基矢 ,jkl=123循环求和 ，量纲是： A(3) 的量纲乘 L(-1)离心力：F离心 (3)1线矢 =速度 v(3)1线矢 点乘 ( 偏分 r(3)1线矢 叉乘动量p(3)1线矢 )=vj(偏 pk/ 偏 rl-偏 pl/ 偏 r 可)j,1线基矢 ,jkl=123循环求和 ，量纲是： MLT(-2)质量 m1距 r(3) 处引力势 ( 标量 ) ：量纲是： L2T2U=km1/r(3)(标量 )m1 、 m2距 r(3) 的引力 (3)1线矢 =m1 距 r(3) 处引力势的梯度乘m2 ：量纲是： MLT(-2)f 引(3)1线矢
7、 =(km1/r(3)梯度 )m21 线矢 =km2(偏 (m1/r(3)/偏 rj)j,1线基矢 ,j=1到 3 求和 1 线矢 ，k 的量纲是： M(-1)L3T2，各维有：d2rj/dt2=g，j=1,2,3，g 是相应条件下，的重力加速度。其各维的解是圆锥曲线（抛物线、椭圆、或双曲线的一支）或其特例（圆或直线）各维的动能：drj md2rj/dt2,从 rj1到 rj2积分 =mvjdvj,从 vj1 到 vj2 积分=m(vj22-vj12)/2，各维的位能：drj mg,从 rj1到 rj2积分 =mg(rj2-rj1)，各维的动能、位能总和守恒。弹性力：物体在弹性限度范围内，较小
8、力作用下，弹性力与物体长度成正比：md2r(3)/dt2=kr(3)，k 为弹性系数。其解为谐振子。其动能、位能总和守恒。电荷 q1 距 r(3) 处电势 1 线矢 ：量纲是： ML2T2电势 1 线矢 =(q1/r(3)1线矢 =q1rj)j,1线基矢 ,j=1到 3 求和 1线矢 /r(3)，q1、 q2 距 r(3) 的静电力 1 线矢 ：量纲是： MLT2，q 的量纲是： M(1/2)L(3/2)T静电力 1 线矢 =(q1q2/r(3)2)1线矢 =q1q2rjj,1线基矢 ,j=1到 3 求和 1 线矢 /r(3)2，q1 距 r(3) 处的电场强度1 线矢 ：量纲是：E(3)1线
9、矢 =(偏(q1rj/r(3)/偏(ict)-偏(ig0/r(3)/偏(rj)j,1线基矢 ,j=1到 3 求和 ，q1 距 r(3) 处的磁场强度1 线矢 ：量纲是：H(3)1线矢 =(q1/r(3)旋度 )q21线矢 /c=偏分 r(3)1线矢 叉乘 (q1/r(3)1线矢 /c=( 偏 r(3)/偏 rj)j,1线基矢 ,j=1到 3 求和 叉乘q1rjj,1线基矢 ,j=1到 3 求和 1线矢 /r(3)=q1( 偏(rk/r(3)/偏(rl/r(3)/偏(rk)j,1线基矢 ,j=1到 3 求和 ，静电力 1 线矢 、磁力 1 线矢 ，都可与运动力1 线矢 组成相应的运动方程，解得相
10、应的运动规律。电力能、磁力能总和守恒。23 维空间各矢量在各牵引运动系间的变换对于牵引运动是3 维位置矢量：r(3)2=r12+r22+r32 r(3)1线矢 的各方向余弦：c1=cos 角 1=r1/r(3)， s1c2=sin角 1cos 角 2=r2/r(3)， s1s2=sin角 1sin 角 2=r3/r(3)， 解出：c1=r1/r(3)，s1=r(2)/r(3)，s1c2=r(2)c2/r(3)=r2/r(3)，c2=r2/r(2)，s1s2=r(2)s2/r(3)=r3/r(3)，s2=r3/r(2)，r(2)=(r22+r32)(1/2)， r(3)=(r12+r22+r32
11、)(1/2)，由位置 r(3)1线矢 组成的正交归一矩阵：c1 -s1 0 r1/r(3) -r(2)/r(3) 0s1c2 c1c2 -s2 = r2/r(3) r1r2/r(2)r(3) -r3/r(2)s1s2 c1s2 c2 r3/r(3) r1r3/r(2)r(3) r2/r(2)由速度 v(3)1线矢 组成的正交归一矩阵：c1 -s1 0 v(3) -v(2)/v(3) 0s1c2 c1c2 -s2 = v2/v(3) v1v2/v(2)v(3) -v3/v(2)s1s2 c1s2 c2 v3/v(3) v1v3/v(2)v(3) v2/v(2)由* 到牵引运动系( 牵引运动为位置
12、r(3)1线矢 ) ：r 1=r*1r1/r(3)-r*2r(2)/r(3)，r 2=r*1r2/r(3)+r*2r1r2/(r(2)r(3)-r*3r3/r(2)，r 3=r*1r3/r(3)+r*2r1r3/(r(2)r(3)+r*3r2/r(2)，伽利略变换。r (3)=r j2,j=1到 3 求和 (1/2)=r*j2,j=1到 3 求和 (1/2)=r*(3)，不变性。dt*/dt=1, dt/dt=1, 所谓?绝对时间?v1=dt*/dtv*1r1/r(3)-v*2r(2)/r(3)+dt/dt(r*1r1-r*2r(2)/r(3)-(r*1r1-r*2r(2)v(3)/r(3)2
13、，v2=dt*/dtv*1r2/r(3)+v*2r1r2/(r(2)r(3)-v*3r3/r(2)，+dt/dtr*1r2/r(3)-r*1r2v(3)/r(3)2+r*2(v1r2+r1v2)/(r(2)r(3)-r*2r1r2(v(2)r(3)+r(2)v(3)/(r(2)r(3)2-r*3r3/r(2)+r*3r3v(2)/r(2)2，v3=dt*/dtv*1r3/r(3)+v*2r1r3/(r(2)r(3)+v*3r2/r(2)，+dt/dtr*1v3/r(3)-r*1r3v(3)/r(3)2+r*2(v1r3+r1v3)/(r(2)r(3)-r*2r1r3(v(2)r(3)+r(2)
14、v(3)/(r(2)r(3)2+r*3r2/r(2)-r*3r2v(2)/r(2)2，变换随时空改变，有时空弯曲。例如：在地球观察水星近日点进动由* 到惯性（ dv(3)=0 ）牵引运动系( 牵引运动为速度v(3)1线矢 ) ：r 1=r*1v1/v(3)-r*2v(2)/v(3)，r 2=r*1v2/v(3)+r*2v1v2/v(2)v(3)-r*3v3/v(2)，r 3=r*1v3/v(3)+r*2v1v3/v(2)v(3)+r*3v2/v(2)，v(2)=(v12+v22)(1/2)， v(3)=(v12+v22+v32)(1/2)，伽利略变换。r (3)=r j2,j=1到 3 求和
15、(1/2)=r*j2,j=1到 3 求和 (1/2)=r*(3)，不变性。dt*/dt=1, dt/dt =1, 所谓?绝对时间?v1*=dt*/dtv*1v1/v(3)-v*2v(2)/v(3)+dt/dt0 ，v2*=dt*/dtv*1v2/v(3)+v*2v1v2/v(2)v(3)-v*3v3/v(2)+dt/dt0 ，v3*=dt*/dtv*1v3/v(3)+v*2v1v3/v(2)v(3)+v*3v2/v(2)+dt/dt0 ，变换不随时空改变，无时空弯曲。当 r*(3)1线矢 =r(3)1线矢 由* 到牵引运动系( 牵引运动为位置r(3)1线矢 ) ：r 1=r12/r(3)-r2r(2)/r(3)，r 2=r1r2/r(3)+r1r22/(r(2)r(3
