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1、理想气体状态方程和克拉珀龙方程的几个推论及其应用山东莒南一中李树祥山东莒南前刘山小学张伯英对于理想气体, 有两个基本方程: 一是研究任意质量的气体, 在任意状态下, 三个状态参量之间的关系的克拉珀龙方程PV = nRT；二是研究一定质量的理想气体在状态变化的过程中, 初状态和末状态的状态参量之间的关系的理想气体状态方程111PVT=222PVT。由这两个方程可推导出一些有用的推论。推论一 ( 理想气体的密度方程)：设气体的质量为m, 在状态I 时的密度为1, 温度为T 1,压强为P1 ; 状态时的密度为2 , 温度为T2 , 压强为 P2, 则有121 122PPTT. 推导把 1= m/ V
2、1和 2= m/ V2 代入理想气体的状态方程即得上式。此公式虽由一定质量的理想气体的状态方程推出 , 但此式却与质量无关, 故常用来解决变质量气体的状态变化问题。例 1 ： 贮气筒中压缩空气的温度是T 1=27C, 压强是P1= 40atm。 当从筒内放出一半质量的空气以后, 筒内剩余空气的温度是T 2=12C, 问这些剩余空气的压强P2是多少 ? 解析：筒内放出一半质量的气体后, 由于贮气筒的容积不变, 气体的密度变为原来的一半, 即 2= 1 2。故由推论一得P2=P12T 2/1T 1=40 1/2285/1 300= 19atm 推论二：一定质量的理想气体，从温度为T 1、压强为P
3、的状态等容变化到温度为T = T+ T、压强为P= P+ P 的状态时 , 气体压强的变化量P= TPT. ；从温度为T1、体积为V 的状态等压变化到温度为T= T + T、体积为V = V + V 的状态时 , 气体体积的变化量V= TV T. 推导设气体由状态P、T 、V 变化到状态P、 T 、 V。因等容变化时V= V , 故由气体状态方程有 P/ P= T / T，由分比定理得P/ P= T / T,所以 P= TP/ T。同理可推得 V= TV/ T 例2：一定质量的理想气体, 在等压变化过程中, 温度由300K 升高至301K, 问体积的增量等于它在300K 时体积的多少 ? 解析
4、：依题设 , 气体温度的增量为T = 301- 300= 1K 由推论二可得, 体积的增量为 V= V/ 300 ，即体积的增量等于它在300K 时体积的1/ 300。推论三：把压强、体积、温度分别为P1、V 1、T 1、P2、V2、T 2, 的几部分理想气体( 不管这几部分气体性质是否相同) 进行混合 , 混合后的压强、体积、温度为P、 V、T , 则有1 11PVT+222PVT+333PVT+. =PVT若把压强、体积、温度为P、V、T 的一定质量的气体分成几部分, 则有PVT=111PVT+222PVT+333PVT+. 推导设几部分气体的摩尔数分别为n1、 n2、 , 则由质量守恒可
5、知, 混合后的总摩尔数为n= n1+ n2+ 。由克拉珀龙方程有n1=111PVT R,22 2 2n =PVT R, n=PVTR,得111PVT R+222PVT R+=PVTR，即111PVT+222PVT+=PVT同理 , 可导出推论三的后部分结论。例 3 一个潜水艇位于水面下h= 200m,艇上有一个容积V = 2m3的贮气钢筒 , 筒内贮有压缩空气, 将筒内一部分空气压入水箱( 水箱有排水孔与海水相连) , 排出海水V1= 10m3, 此时筒内剩余气体的压强是P2= 95atm。设在排水过程中温度不变, 求贮气钢筒内原来的压缩空气的压强。设水面上空气压强为P0= 1atm,海水密度
6、为 = 1. 0 103kg/ m3, g = 10m/ s2,1atm= 1. 0105Pa。解析本题是一个压缩空气排水的问题,相当于把贮气筒内的压缩气体( 已知体积V=2m3, 设压强为P, 温度为T ) 分为两个部分, 一部分进入水箱( 已知体积为V1= 10m3, 温度T1= T , 设压强为P1) , 一部分留在贮气筒 ( 已知体积V2= V = 2m3, 压强P2= 95atm, 温度T 2=T ) 。 水箱内空气的压强可直接算出P1 = P0 + g h = 1 +1 103 10 200/1 105 =21atm 对压缩空气 , 由推论三有PV/T=P1V1/T1+P2V2/T
7、 2得 P =(P1V 1+ P2V2)/V= （21 10+ 95 2）/2=200atm 推论四k 个不同状态的理想气体合并后再分成另外m 个不同的状态, 则有1 11PVT+222PVT+333PVT+.= 111P VT+222P VT+333P VT+. 推导同推论三的推导类似, 由混合前气体的总摩尔数n1+ n2+ 等于混合后的总摩尔数n1+ n2+ , 再利用克拉珀龙方程即可导出推论四。例 4 如图所示甲、 乙两容器用细管相连, V1=1L, V2 = 2L, 甲容器内空气的压强为P1= 1atm, 乙容器中空气的压强为P2= 2atm, 温度均为T 1= T2= 27C。打开阀
8、门 ,并将甲容器的温度降为T1= - 73C, 乙容器的温度仍为T2= 27C, 问此时容器内气体的压强为多少? 解析由推论四有111PVT+222PVT= 111P VT+222P VT, 即111PVT+222PVT= 11PVT+22PVT得 P =（1 122300300）（12200300）= 1. 43atm 推论五（道尔顿分压定律）容器中混合气体的压强，等于在同样温度、同样体积下混合气体各成分单独存在时的分压强之和。即P1+P2=P. 推导，由推论三得111PVT+222PVT+=PVT，若 V1=V2=V,T1=T2=T,则 P1+P2=P 例 5，一足球容积4L,内有压强P=2atm，用一容积为1L 的打气筒充气，求充气4 次后足球内压强？（忽略足球体积变化）解析： 4 次充气的气体在v=4L 时的压强为P1，则 P041L=P14L，P1=P0=1atm,此时足球内气体的压强为 P2=P+P1=2+1=3atm
