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1、1数学实验报告日期： 2012 年 10 月 26 日班级姓名学号实验名称特殊函数与图像问题背景描述：大学两年我们学习了很多的函数，像球面，圆环面，椭球面，单（双）叶双曲面，马鞍面等，它们的参数方程和函数表达式，我们都已经很熟悉了，但是关于它的图像是怎样的与什么特点，以及怎样绘制它们的图像我们并不清楚，因此，我们不仅仅要知道，这些函数的表达式，而且更要知道它们的图像是怎样产生的。而这些都离不开绘图。绘图实际上一直是数学中的一种重要手段，借助图形，往往能够化繁为简，使抽象的对象得到明白直观的体现，比如函数的基本性质，可以使之一目了然，非常有效。同时，数学的教学与学习过程也离不开绘图。借助直观的图
2、形，常可以使初学者更容易接受新知识。比如，数学分析中的不少函数，仅仅是其解析式让人望而生畏，如若看到图形再配合分析，则知识新知识就更容易让人理解和记忆掌握。传统的手工绘图，往往费时费力，效果也不尽理想。而计算机却恰恰弥补了这个不足，可以方便的指定各个视角，比例，明暗，从各个角度进行观察。实验目的：借助 Matlab 软件的作图功能，将函数转化直观的图像，便于函数的分析与证明，所得到的结果得到更明白的易懂的表现，有时这比科学论证更具有说服力。同时也解决了传统作图的缺点，通过熟练掌握Matlab 的作图软件，充分认识到它的特点和功能的强大。实验原理与数学模型：1、 三维图形的参数方程：1.球222
3、2xyzR的参数方程是cossinsincossinRzRyRx, 0202. 圆环面22222)(rzRyx的参数方程是sin.sin)cos(cos)cos(rzrRyrRx, 20202、墨西哥帽子函数方程是2222sinxy z xy3、球面，椭圆面，双叶双曲面，单叶双曲面的参数方程：1.球的参数方程是cossinsincossinRzRyRx, 0202. 椭球面的参数方程是cossinsincossinczbyax,0200,cba3. 单叶双曲面的参数方程是tansinseccossecczbyax，2/2/200,cba4.双叶双曲面的参数方程是sec.sintancostan
4、czbyax，2/32/200,cba且2/4、若要求田螺线的一条轴截面的曲边是一条抛物线：0y时25xz试重新设计田螺线的参数方程，并画出该田螺线5、马鞍面图形函数为：2294xyz6、黎曼函数的定义为1(0,1)010 1pppqx qqqyxx,当、为 正 整 数 ， 为 既 约 分 数 ,0， 当，及 无 理 点 ，实验所用软件及版本：Mtalab 7.0 版主要内容（要点）：1、 网格划分区域和划分方法：x,y=meshgrid(m,n) 2、 mash （Z）函数可以给出矩阵Z 元素的三维隐消图；meshz 和 mash 的调用方法相同，不同的是该函数的作图作用之上增加了屏蔽作用，
5、即增加了边界面屏蔽。3、 plot 和 plot3 以及 ezplot3 函数的曲线作图（本实验中并未有体现）4、 mesh 函数，绘制彩色网格曲面网格图mesh(z),mesh(x,y,z,s),mesh(x,y,z,c) 5、 surf 函数，在矩形区域内显示三维带阴影曲面图surf(x,y,z) 6、 ezsurf: 符号函数作三维曲面图ezsurf(x,y,z) 7、 子图的绘制：subplot （m，n，p）8、 图像的修饰与其它函数：grid on 添加网格grid off 取消网格hold on 保持图像窗口的图形实验过程记录（含基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）：基本步骤
6、 ：第一步：在E 盘上或其他盘上建立存储M 文件的文件夹，命名为matlab 第二步：重设搜索路径，使其路径为第一步所建的文件夹第三步：建立M 文件，编写函数命令，不同的函数对应不同的图像，分别建立不同的M 文件第四步：编写函数程序第五步：调试程序主要程序清单 ：1、做出图一所示的三维图形的程序为：X Y Z =sphere(50); R=2; X=R*X; Y=R*Y; Z=R*Z; surf(X,Y ,Z) hold on ezsurf(6+2*cos(u)*cos(v),(6+2*cos(u)*sin(v),. 2*sin(u),0,2*pi,0,2*pi) axis equal tit
7、le( ) 2、 图二的墨西哥帽子的程序为：subplot(2,2,1) a,b=meshgrid(-8:.3:8); %先生成一个网格c=sqrt(a.2+b.2)+eps; z=sin(c)./c; mesh(a,b,z) axis square hold on subplot(2,2,2) a,b=meshgrid(-8:.3:8); %先生成一个网格c=sqrt(a.2+b.2)+eps; z=sin(c)./c; mesh(a,b,z) i=find(a.2+b.2=64); z1=z;z1(i)=NaN; mesh(a,b,z1); axis square hold on subp
8、lot(2,2,3) a,b=meshgrid(-11:.3:11); %先生成一个网格c=sqrt(a.2+b.2)+eps; z=sin(c)./c; mesh(a,b,z) axis square hold on subplot(2,2,4) a,b=meshgrid(-11:.3:11); %先生成一个网格c=sqrt(a.2+b.2)+eps; z=(sin(c)-c)./c; mesh(a,b,z) i=find(a.2+b.2=121); z1=z;z1(i)=NaN; mesh(a,b,z1); axis square hold on 3、图三的球面，椭球面，单叶双曲面，双叶双
9、曲面的的图像程序是：subplot(2,2,1) sphere(50); title(ball); axis equal subplot(2,2,2) ezsurf(4*cos(u)*cos(v),6*cos(u)*sin(v),. 8*sin(u),0,2*pi,0,2*pi); subplot(2,2,3) ezsurf(3*tan(u)*cos(v),. 3*tan(u)*sin(v),5*sec(u),. -pi/2,pi/2,0,2*pi); axis auto subplot(2,2,4) ezsurf(3*sec(u)*cos(v),. 3*sec(u)*sin(v),5*tan
10、(u),. -pi/2,pi/2,0,2*pi); axis auto 4、图四的田螺线的图像程序是：t=0:.1:30; x=5*t.*cos(t); y=5*t.*sin(t); z=t.2; plot3(x,y,-z) axis equal 5、图五马鞍面（颜色为灰色，有一个标题“马鞍面”） 的图像程序是：x,y=meshgrid(-25:25,-25:25); z=x.*x/9-y.*y/4; meshz(x,y,z) title( 马鞍面 ) colormap(gray) grid off 6、图六黎曼函数的图像的程序是（n 由键盘输入） ：x=;y=;k=1; n=input(n=
11、) for q=2:n for p=1:q-1 if gcd(q,p)=1 x(k)=p/q; y(k)=1/q; k=k+1; end end end plot(x,y,.b); axis(0,1,0,1) 异常情况记录：1、 在墨西哥帽子的裁剪图像的绘制中，始终难以通过修改函数的定义域来裁剪函数，甚是苦闷，后经过查阅其他的matlab 的书籍和求助于互联网才妥善解决。2、 对于第四题的田螺线函数的确定，在通过计算确定了复合条件的参数方程。3、 在马鞍面的绘制当中，通过调试总是绘制不出来马鞍面的投影线。后来在修改绘图函数后绘制了出来， 还有就是灰颜色的绘制使用colourmap函数， 其实在
12、课本上很不显眼，应该看书的时候不落下死角。4、 编写程序时，有些函数图象，参变量被等分为向量形式，在运行程序时，依然用*，/, ，程序出现错误，经调整改为.*, ./, ., 时，就出现了正确的图像。实验结果报告与实验总结：1、 在使用 matlab 绘图时，才感觉到学以致用的重要性，通过练习，熟悉了matlab 的使用，同时也复习了解析几何中各类函数，以及他们的函数图象，扎实掌握和他们的性质。2、 在将来的数学教学中对于初等函数的教学提供了一个形象生动方便的教学工具。3、球面，椭球面，单（双）叶双曲线使用ezsurf 作图比较顺利。在墨西哥帽子的裁剪过程中通过查阅资料和求助于互联网让我得以完
13、成作业，充分展示了查询资料和互联网的强大。3、制作黎曼函数图像时，使用input 函数，灵活方便函数作图。交互式的方式更应该有利于学习和掌握知识。也更加减少了程序的重复性和冗余性，提高了效率。4、数学分析中，接触了不少复杂和有趣的函数，我们可以通过matlab轻易的做出他们的函数图象。加深对他的理解，同时增强了兴趣。5、对应用Matlab软件作图有了初步的了解，充分认识到了它的特点和功能的强大，使繁琐的函数表达式变得直观易懂，加强了我们对函数的认识和了解。思考与深入：1、 几个特殊函数的matlab 制图加深了了我对于matlab 的认识，使我坚定了好好学习好这门课程的决心和信心。2、 同时，也不应满足于课本上上的简单例题，在数学分析中所学的函数都应该可以通过matlab制作出来。3、 在制图过程中，遇见了好多的问题，这才是实践是查找自己不足的最好的办法，在绘制图像的过程中，通过各种尝试，让自己的更加熟练的掌握了这么技术4、 遇见了各种问题应该通过查阅各种书籍和互联网来解决解决自己预见到的问题。5、 坦率地说， 其实这个实验的答案网上也是有的，但是我们可以借鉴但应该通过自己的判断和自己的动手，真正的让自己把问题弄懂学会。附录：教师评语：图一图二图三图四图五图六
