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1、Chapter8 Combined deformationChapter8 Combined deformation(Combined Deformation)(Combined Deformation)第八章第八章 组合变形组合变形 （Combined deformationCombined deformation） 8-18-1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理 （Combined deformation andCombined deformation andsuperposition method superposition method） 8-28-2 拉伸（压缩）与弯曲的拉伸（压
2、缩）与弯曲的组合组合（ Combined axial and flexural loadsCombined axial and flexural loads） 8-38-3 偏心拉（压）偏心拉（压） 截面核心截面核心(Eccentric (Eccentric loads ;I Iy y , , I Iz z 分别为横截面对分别为横截面对 y y 轴和轴和 z z 轴的惯性矩轴的惯性矩; ;（ （z zF F，y yF F ） 为为力力 F F 作用点的坐标作用点的坐标; ;（ （z z，y y）为所）为所求应力点的坐标求应力点的坐标. .(y,z)C(Combined Deformation)
3、(Combined Deformation)上式是一个平面方程 上式是一个平面方程. .表明正应力在横截面上按线性规律变表明正应力在横截面上按线性规律变 化化. .应力平面与横截面的交线（直线应力平面与横截面的交线（直线 = 0= 0）就是中性轴）就是中性轴. .四、中性轴的位置四、中性轴的位置（The location of neutral axisThe location of neutral axis）(Combined Deformation)(Combined Deformation)令 令 y y0 0 , , z z0 0 代表中性轴上任一点的坐标代表中性轴上任一点的坐标, ,即
4、得中性轴方程即得中性轴方程讨论 讨论（ （1 1）在偏心拉伸）在偏心拉伸 ( (压缩压缩) ) 情况下情况下, , 中性轴是一条不通过截面形心的直线中性轴是一条不通过截面形心的直线Oz中性轴y y(Combined Deformation)(Combined Deformation)y yz z中性轴O O（2 2） 用用 a ay y和和 a az z 记中性轴在记中性轴在 y , zy , z 两轴上的截距两轴上的截距, ,则有则有(yF , zF )a aya az（3 3）中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧）中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧(Combined De
5、formation)(Combined Deformation)y yOz z中性轴外力作用点y yz z中性轴（4 4）中性轴将横截面上的应力区域分为拉伸区和压缩区中性轴将横截面上的应力区域分为拉伸区和压缩区 横截面上最大拉应力和最大压应力分别为 横截面上最大拉应力和最大压应力分别为D D1 1, , D D2 2 两切点两切点D D1(y y1,z z1)D D2(y y2,z z2)(Combined Deformation)(Combined Deformation)(a) )( (b) )( (c) )yyzz（5 5）对于周边具有棱角的截面）对于周边具有棱角的截面, ,其危险点必定
6、在截面的棱角处其危险点必定在截面的棱角处, , 并并可根据杆件的变形来确定可根据杆件的变形来确定F/AF/AyzFyF/WzFzF/Wy(Combined Deformation)(Combined Deformation)yzD D1D2中性轴最大拉应力最大拉应力 tmaxtmax和最大压应力和最大压应力 cmincmin分分别在截面的棱角别在截面的棱角 D D1 1D D2 2处处. .无需先确定中性轴的位置无需先确定中性轴的位置, ,直接观察确定危险点的位置即可直接观察确定危险点的位置即可五、强度条件五、强度条件 （Strength conditionStrength condition
7、）由于危险点处仍为单向应力状态 由于危险点处仍为单向应力状态, ,因因 此此, ,求得最大正应力后求得最大正应力后, ,建立的强度条件为建立的强度条件为(Combined Deformation)(Combined Deformation)y yz z六、截面核心六、截面核心（The kern of a sectionThe kern of a section）中性轴（y yF F，z zF F）为外力作用点的坐标为外力作用点的坐标a ay y, ,a az z为中性轴在为中性轴在y y轴和轴和z z轴上的截距轴上的截距(yF,zF)当中性轴与图形相切或远离图 当中性轴与图形相切或远离图 形时
8、形时, ,整个图形上将只有拉应力或只整个图形上将只有拉应力或只 有压应力有压应力(Combined Deformation)(Combined Deformation)y yz z中性轴yz中性轴中性轴y yz z(yF,zF)(yF,zF)(yF,zF)(Combined Deformation)(Combined Deformation)y yz z截面核心1 1. .定义定义（DefinitionDefinition）当外力作用点位于包括截面形心的一个区域当外力作用点位于包括截面形心的一个区域 内时内时, ,就可以保证中性轴不穿过横截面（整个截面上只有拉应力或就可以保证中性轴不穿过横截面
9、（整个截面上只有拉应力或 压应力）压应力）, ,这个区域就称为这个区域就称为截面核心截面核心 （the kern of a sectionthe kern of a section）(Combined Deformation)(Combined Deformation)yz z当外力作用在截面核心的边当外力作用在截面核心的边界上时界上时, ,与此相应的中性轴正好与此相应的中性轴正好与截面的周边相切与截面的周边相切. .截面核心截面核心的边界就由此关系确定的边界就由此关系确定. .中性轴2.2.截面核心的确定截面核心的确定（Determine the kern of a sectionDeter
10、mine the kern of a section）(yF,zF)截面核心(Combined Deformation)(Combined Deformation)例例5 5 求圆形截面的截面核心求圆形截面的截面核心y yz zOdA解解: : （）（）作切线作切线 为中性轴为中性轴 , ,在两个形心主惯性轴上的截距分别为在两个形心主惯性轴上的截距分别为圆截面的惯性半径圆截面的惯性半径1d/8（）由于圆截面对于圆心（）由于圆截面对于圆心O O是对称的是对称的, ,因而因而, ,截面核心的边界对截面核心的边界对 于圆也应是对称的于圆也应是对称的, ,从而可知从而可知, ,截面核心边界是一个以截面
11、核心边界是一个以O O为圆心为圆心, ,以以 d d/8/8为半径的圆为半径的圆(Combined Deformation)(Combined Deformation)h hbA ABCDyzO解解: :作切线作切线 为中性轴，为中性轴，得两截距分别为得两截距分别为矩形截面的矩形截面的1例例6 6 求矩形截面的截面核心求矩形截面的截面核心(Combined Deformation)(Combined Deformation)h hb bA ABC CD Dy yz zO123 4（2 2）同理）同理, ,分别作切线分别作切线 、 、 ，可求得对应的核心边界上点的坐标可求得对应的核心边界上点的坐
12、标依次为依次为（3 3）矩形截面核心形状分析）矩形截面核心形状分析直线直线绕顶点绕顶点B B旋转到直线旋转到直线时时, ,将得到一系列通过将得到一系列通过 B B点但斜点但斜 率不同的中性轴率不同的中性轴, ,而而 B B点坐标点坐标 y yB B , , z zB B 是这一系列中性轴上所共有是这一系列中性轴上所共有 的的. .(Combined Deformation)(Combined Deformation)hbABCDyzO23 41 这些中性轴方程为这些中性轴方程为上式可以看作是表示外力作用点上式可以看作是表示外力作用点坐标间关系的直线方程坐标间关系的直线方程. .故外力作用点移动
13、的轨迹是直线故外力作用点移动的轨迹是直线. .(Combined Deformation)(Combined Deformation)（a a）对于具有棱角的截面）对于具有棱角的截面, ,均可按上述方法确定截面核心均可按上述方法确定截面核心（b b）对于周边有凹进）对于周边有凹进 部分的截面（如部分的截面（如T T字形截面）字形截面）, ,能取与能取与凹进部分的周边相切的直线作为中性凹进部分的周边相切的直线作为中性 轴轴, ,因为这种直线穿过因为这种直线穿过 横截横截面面. . （4 4）讨论）讨论 （discussiondiscussion）(Combined Deformation)(Co
14、mbined Deformation)laABCF研究对象研究对象（research objectresearch object） 圆截面杆圆截面杆（circular barscircular bars）受力特点受力特点（character of external forcecharacter of external force）杆件同时承受转矩和横向力作用杆件同时承受转矩和横向力作用变形特点变形特点（character of deformationcharacter of deformation）发生扭转和弯曲两种基本变形发生扭转和弯曲两种基本变形88-4-4 扭转与弯曲的扭转与弯曲的组合组
15、合 （Combined bending and torsionCombined bending and torsion）(Combined Deformation)(Combined Deformation)一、一、 内力分析内力分析 （Analysis of internal forceAnalysis of internal force） 设一直径为设一直径为d d 的等直圆杆的等直圆杆AB, BAB, B 端具有与端具有与ABAB成直角的刚臂成直角的刚臂. . 研究研究ABAB 杆的内力杆的内力. .将力将力 F F 向向 ABAB 杆右端截面的形杆右端截面的形 心心B B简化简化得得横向力横向力 F F （引起平面弯曲）引起平面弯曲）力偶矩力偶矩 MM= = FaFa （引起扭转）引起扭转）ABAB 杆为弯曲与扭转局面组合杆为弯曲与扭转局面组合 变形变形BA AFMxlaABCF F(Combined Deformation)(Combined Deformation)画内力图确定危险截面画内力图确定危险截面固定端固定端A A截面为危险截面截面为危险截面AA FMMFl(Combined Deformation)(Combined Deformation)A截面 C3C4T C3C4 C
