数学建模概率论4

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1、第六章第六章 参数估计参数估计华东师范大学华东师范大学* *第第1 1页页第六章 参数估计 6.1 点估计的几种方法 6.2 点估计的评价标准 6.3 最小方差无偏估计 6.4 贝叶斯估计 6.5 区间估计 第六章第六章 参数估计参数估计华东师范大学华东师范大学* *第第2 2页页一般常用 表示参数，参数 所有可能取值组成的集合称为参数空间，常用表示。参数估计问题就是根据样本对上述各种未知参数作出估计。参数估计的形式有两种：点估计与区间估计。第六章第六章 参数估计参数估计华东师范大学华东师范大学* *第第3 3页页设 x1, x2, xn 是来自总体 X 的一个样本，我们用一个统计量 的取值作

2、 为 的估计值， 称为 的点估计（量）， 简称估计。在这里如何构造统计量 并没 有明确的规定，只要它满足一定的合理性 即可。这就涉及到两个问题： 其一 是如何给出估计，即估计的方法问题； 其二 是如何对不同的估计进行评价，即估计的好坏判断标准。第六章第六章 参数估计参数估计华东师范大学华东师范大学* *第第4 4页页6.1 点估计的几种方法 6.1.1 替换原理和矩法估计 一、矩法估计 替换原理是指用样本矩及其函数去替换相应的 总体矩及其函数，譬如： 用样本均值估计总体均值E(X)，即 ； 用样本方差估计总体方差Var(X)，即 用样本的 p 分位数估计总体的 p 分位数， 用样本中位数估计总

3、体中位数。 第六章第六章 参数估计参数估计华东师范大学华东师范大学* *第第5 5页页例6.1.1 对某型号的20辆汽车记录其每加仑汽 油的行驶里程(km)，观测数据如下：29.8 27.6 28.3 27.9 30.1 28.7 29.9 28.0 27.9 28.7 28.4 27.2 29.5 28.5 28.0 30.0 29.1 29.8 29.6 26.9经计算有由此给出总体均值、方差和中位数的估计分别 为: 28.695, 0.9185 和 28.6。矩法估计的实质是用经验分布函数去替换总体 分布，其理论基础是格里纹科定理。第六章第六章 参数估计参数估计华东师范大学华东师范大学*

4、 *第第6 6页页二、概率函数P(x,)已知时未知参数的矩法估计 设总体具有已知的概率函数 P(x, 1, , k)， x1, x2 , , xn 是样本，假定总体的k阶原点矩k 存在，若 1, , k 能够表示成 1, , k 的函 数 j = j(1, ,k)，则可给出诸 j 的矩法估计 为 其中第六章第六章 参数估计参数估计华东师范大学华东师范大学* *第第7 7页页例6.1.2 设总体服从指数分布，由于EX=1/，即 =1/ EX，故 的矩法估计为另外，由于Var(X)=1/2，其反函数为 因此，从替换原理来看，的矩法估计也可取为s 为样本标准差。这说明矩估计可能是不唯一的，这是矩法估

5、计的一个缺点，此时通常应该尽量 采用低阶矩给出未知参数的估计。第六章第六章 参数估计参数估计华东师范大学华东师范大学* *第第8 8页页例6.1.3 x1, x2, , xn是来自(a,b)上的均匀分布 U(a,b)的样本，a与b均是未知参数，这里k=2，由于不难推出由此即可得到a, b的矩估计：第六章第六章 参数估计参数估计华东师范大学华东师范大学* *第第9 9页页6.1.2 极(最)大似然估计 定义6.1.1 设总体的概率函数为P(x; )，是参 数 可能取值的参数空间，x1, x2 , , xn 是样 本，将样本的联合概率函数看成 的函数，用 L( ; x1, x2, , xn) 表示

6、，简记为L( )，称为样本的似然函数。第六章第六章 参数估计参数估计华东师范大学华东师范大学* *第第1010页页如果某统计量 满足则称 是 的极(最)大似然估计，简记为MLE （Maximum Likelihood Estimate）。 人们通常更习惯于由对数似然函数lnL( )出发寻 找 的极大似然估计。 当L( )是可微函数时，求导是求极大似然估计最 常用的方法，对lnL( )求导更加简单些。第六章第六章 参数估计参数估计华东师范大学华东师范大学* *第第1111页页例6.1.6 设一个试验有三种可能结果，其发生概率分别为现做了n次试验，观测到三种结果发生的次数分 别为 n1 , n2

7、, n3 (n1+ n2+ n3 = n)，则似然函数为其对数似然函数为第六章第六章 参数估计参数估计华东师范大学华东师范大学* *第第1212页页将之关于 求导，并令其为0得到似然方程解之，得由于所以 是极大值点。第六章第六章 参数估计参数估计华东师范大学华东师范大学* *第第1313页页极大似然估计有一个简单而有用的性质：如果 是 的极大似然估计，则对任一函数 g( )， 其极大似然估计为 。该性质称为极大似然估计的不变性，从而使一些复杂结构的参数的 极大似然估计的获得变得容易了。 第六章第六章 参数估计参数估计华东师范大学华东师范大学* *第第1414页页6.5 区间估计 6.5.1 区

8、间估计的概念 定义6.5.1 设 是总体的一个参数，其参数空间为 ，x1, x2 , , xn是来自该总体的样本，对给定的一个 (0 1)，若有两个统计量 和 ，若对任意的 ，有 （6.5.1）第六章第六章 参数估计参数估计华东师范大学华东师范大学* *第第1515页页则称随机区间 为 的置信水平为1- 的置信区间，或简称 是 的1-置信 区间. 和 分别称为 的（双侧）置信下限和置信 上限. 这里置信水平1- 的含义是指在大量使用该置 信区间时，至少有100(1-)%的区间含有 。 第六章第六章 参数估计参数估计华东师范大学华东师范大学* *第第1616页页例6.5.1 设x1, x2 ,

9、, x10是来自N(, 2)的样本， 则 的置信水平为1- 的置信区间为其中， ,s 分别为样本均值和样本标准差。 这个置信区间的由来将在6.5.3节中说明，这里用它来说明置信区间的含义。若取 =0.10，则t095(9)=1.8331，上式化为第六章第六章 参数估计参数估计华东师范大学华东师范大学* *第第1717页页现假定 =15, 2 =4，则我们可以用随机模拟方 法由N(15,4)产生一个容量为10的样本，如下即 是这样一个样本：14.85 13.01 13.50 14.93 16.97 13.80 17.9533 13.37 16.29 12.38由该样本可以算得从而得到 的一个区间

10、估计为该区间包含 的真值-15。现重复这样的方法 100次，可以得到100个样本，也就得到100个区 间，我们将这100个区间画在图6.5.1上。 第六章第六章 参数估计参数估计华东师范大学华东师范大学* *第第1818页页由图6.5.1 可以看 出，这 100个区 间中有 91个包 含参数 真值15 ，另外9 个不包 含参数 真值。 图6.5.1 的置信水平为0.90的置信区间 第六章第六章 参数估计参数估计华东师范大学华东师范大学* *第第1919页页取=0.50， 我们也可以 给出100个 这样的区间 ，见图6.5.2 。可以看出 ，这100个 区间中有50 个包含参数 真值15，另 外

11、50个不包 含参数真值 。 图6.5.2 的置信水平为0.50的置信区间 第六章第六章 参数估计参数估计华东师范大学华东师范大学* *第第2020页页定义6.5.2 沿用定义6.5.1的记号，如对给定的 (0 1)，对任意的，有（6.5.2 ） 称 为 的1- 同等置信区间。 同等置信区间是把给定的置信水平1- 用足了 。常在总体为连续分布场合下可以实现。 第六章第六章 参数估计参数估计华东师范大学华东师范大学* *第第2121页页定义 若对给定的 (0 1)和任意的，有，则称 为 的置信水平为1- 的 （单侧）置信下限。假如等号对一切成立， 则称 为 的1- 同等置信下限。若对给定的 (0

12、1)和任意的，有 ,则称 为 的置信水平为1- 的（单侧）置信上限。若等 号对一切成立，则称 为1- 同等置信上限。单侧置信限是置信区间的特殊情形。因此，寻求 置信区间的方法可以用来寻找单侧置信限。 第六章第六章 参数估计参数估计华东师范大学华东师范大学* *第第2222页页6.5.3 单个正态总体参数的置信区间 一、 已知时 的置信区间由此给出了的同等置信区间为 ， 。 （6.5.8）这是一个以 为中心，半径为 的对称区间，常将之表示为 。第六章第六章 参数估计参数估计华东师范大学华东师范大学* *第第2323页页例6.5.3 用天平秤某物体的重量9次，得平均值为 （克），已知天平秤量结果为

13、正态分 布，其标准差为0.1克。试求该物体重量的0.95置信区间。 解：此处1- =0.95， =0.05，查表知u0.975=1.96 ，于是该物体重量 的0.95置信区间为，从而该物体重量的0.95置信区间为 15.3347，15.4653。 第六章第六章 参数估计参数估计华东师范大学华东师范大学* *第第2424页页例6.5.4 设总体为正态分布N(,1)，为得到 的置 信水平为0.95的置信区间长度不超过1.2，样本容 量应为多大？ 解：由题设条件知 的0.95置信区间为其区间长度为 ，它仅依赖于样本容量n 而与样本具体取值无关。现要求 ， 立即有n(2/1.2)2u2 1-/2.现1

14、- = 0.95，故u1-/2=1.96 ，从而n(5/3)2 1.962 = 10.6711。即样本容量至少为11时才能使得 的置信水平为0.95的置信区间长 度不超过1.2。 第六章第六章 参数估计参数估计华东师范大学华东师范大学* *第第2525页页二、 2未知时 的置信区间 的1-置信区间为此处 是 2的无偏估计。 第六章第六章 参数估计参数估计华东师范大学华东师范大学* *第第2626页页例6.5.5 假设轮胎的寿命服从正态分布。为估计 某种轮胎的平均寿命，现随机地抽12只轮胎试 用，测得它们的寿命（单位：万公里）如下： 4.68 4.85 4.32 4.85 4.61 5.02 5.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.70此处正态总体标准差未知，可使用t分布求均值 的置信区间。经计算有 =4.7092，s2=0.0615。 取 =0.05，查表知t0.975(11)=2.2010，于是平均寿 命的0.95置信区间为（单位：万公里）第六章第六章 参数估计参数估计华东师范大学华东师范大学* *第第2727页页在实际问题中，由于轮胎的