《高等数学下册总复习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学下册总复习（75页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、求多元函数的偏导数并不需要新的方法,利用一元函数只需将y 看作常量,的求导法对x 求导即可.解例1 求 在点 处的偏导数证原结论成立例2 设证明偏导数的概念可以推广到二元以上函数如 在 处 解利用函数关于自变量的对称性,有例3 求 的偏导数纯偏导混合偏导定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.二、高阶偏导数解例5 设求多元函数的高阶混合偏导数如果连一般地, 续就与求导次序无关.如果函数的两个二阶混合偏 在区域D内定理 连续， 那么在导数 该区域内如问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等 ?1. 可微分的必要条件 ( 可微必可导).定理1(可微必要条件)如果函数可微分,且函数的全微
2、分为二、可微的条件通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和叠加原理也适用于二元以上函数的情况.习惯上,记全微分为称为二元函数的微分符合叠加原理叠加原理如三元函数则解计算函数在点的全微分.所以例1解所求全微分例2 计算函数 的全微分.多元函数连续、偏导数存在、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续偏导数存在复合函数为则复合函数偏导数存在, 且可用下列公式计算具有连续偏导数,的情形：定理可推广到函数复合图uv解令记同理有例6 设连续偏导数，求f 具有二阶于是例7 设 其中f 具有二阶连续 偏导数，求解即于是则方程 内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的并有具有连续偏导数;若三元函数 的某邻域内
3、函数它满足条件在点在点2. 由三元方程确定二元隐函数隐函数存在定理2的某一邻域(1) (2) (3)满足:将恒等式两边分别对x和y求导, 应用复合函数求导法得是方程所确定的隐设 函数,则所以存在 的一个邻域,在这个邻域内因为连续,于是得现仅推导求导公式.解1令则例2 设求解2整理得二阶偏导数的求法同解1对复合函数求高阶偏导数时,需注意:导函数仍是复合函数.故对导函数再求偏导数时,仍需用复合函数求导的方法.例2 设求解整理得方程两端对x 求偏导数得方程两端对y 求偏导数得例3 设求整理得整理得把y 看成 x, z 的函数对z 求偏导数得解例4设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导.第六节 微
4、分法在几何上的应用一、空间曲线的切线与法平面割线的极限位置曲线的切线上式分母同除以割线 的方程为曲线在M处的切线方程切向量法平面切线的方向向量称为曲线的切向量.过M点且与切线垂直的平面.解切线方程法平面方程例1 求曲线 在 处的切线和法平面方程.在曲面上任取一条1. 设曲面的方程为的情形函数的偏导数在该点连续且不同 时为零.点M 对应于参数不全为零.过点M 的曲线,设其参数 方程为二、曲面的切平面与法线由于曲线在曲面上, 所以在恒等式两端对t 求全导数, 并令 则得若记向量曲线在点M处切线的方向向量记为 则式可改写成即向量 垂直. 因为曲线是曲面上过点M的任意一条曲 线,所有这些曲线在点M的切
5、线都与同一向量垂直, 因此这些切线必共面,称为曲面在点M的过点M且垂直于切法线,又是法线的方向向量.向量称为曲法向量.切平面,由切线形成的这一平面,平面的直线称为曲面在点M的面在点M的曲面在M(x0, y0 , z0)处的法向量:切平面方程为法线方程为所以曲面上在点M的解 令切平面方程法线方程例3 求曲面在点处的切平面及法线方程.2. 曲面方程形为 的情形曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为令求函数 极值的一般步骤:第一步 解方程组求出实数解,得驻点.第二步 对于每一个驻点 求出二阶偏导数的值第三步 定出的符号, 再判定是否是极值.例1 解又在点(0,0)处, 在点(a,a)处, 故
6、故即的极值.在(0,0)无极值;在(a,a)有极大值,解则又是实际问题,解得唯一驻点一定存在最值.令例5 将正数 12 分成三个正数 之和使得为最大.性质1当 为常数时，性质2二重积分与定积分有类似的性质二、二重积分的性质以1为高的性质3 将区域D分为两个子域性质4 若 为D的面积oxyD1D2注既可看成是以D为底,柱体体积, 对积分区域的可加性质.D1与D2除分界线 外无公共点.D又可看成是D的面积.性质5若在D上特殊地则有例的值= ( ).(A) 为正(B) 为负(C) 等于0(D) 不能确定为负B性质6 （二重积分估值定理）性质7 （二重积分中值定理）则设 , 分别是 在闭区域D上的最大
7、值和最小值， 为D的面积.设函数在闭区域 D 上连续， 面积，则在D上至少存在一点使得 为D的第二节 二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分二重积分的计算方法是：将二重积分化为二次积分（累次积分）来计算.现根椐二重积分的几何意义:的值等于以区域D为底，曲面z= f ( x, y )为顶的曲顶柱体的体积,考虑二重积分的计算.例3 交换积分次序：解 积分区域:原式=解例4 计算积分不能用初等函数表示,先交换积分次序.又是能否进行计算的问题.计算二重积分时, 恰当的选取积分次序十分重要, 它不仅涉及到计算繁简问题,而且凡遇如下形式积分:等等,一定要放在后面积分.二、利用极坐标计算二重积分二重积
8、分在极坐标下的表达式为极坐标系中的面积元素注在极坐标系下,一般化成1.极点在区域D 的外面直角坐标与极坐标的关系为在极坐标下 因此2. 积分区域D 是由圆弧、或圆弧与直线所围成.1. 若被积函数形如 ;常用极坐标计算.例5 将积分化为极坐标形式r =Ry = R xD1D2R0y xDarctanRI =解规定就称为点M的柱面坐标.cylindrical coordinates设M(x, y, z)为空间内一点, 并设点M在xOy面上的投影P的极坐标为则这样的三个数一、利用柱面坐标计算三重积分第五节 利用柱面坐标与球面坐标 计算三重积分z动点M(r, , z)柱面Sr =常数：平面z =常数：
9、x0 yzMrS Sz柱面坐标下的三坐标面分别为动点M(r, , z)半平面P柱面S =常数:r =常数：平面z =常数：zx0 yzMrS SP P柱面坐标下的三坐标面分别为直角坐标与柱面坐标的关系为在柱面坐标下 因此2. 积分区域是由柱面、锥面、旋转抛物面、平面或球面所围成.1. 若被积函数形如 ;常用柱面坐标计算.xz y0 drrrddz平面z元素区域由六个坐标面围成：半平面及+d ; 半径为r及 r+dr的园柱面；平面 z及 z+dz；柱面坐标下的体积元素xz y0 drrrddz底面积 ：r drd元素区域由六个坐标面围成：半平面及+d ; 半径为r及 r+dr的园柱面；平面 z及
10、 z+dz；dz平面z+dzxz y0 drrrddz底面积：r drddzdV =dV三重积分在柱面坐标系下的表达式为通常化为先对 z、再对 r、后对 的三次积分.先将在xOy面上的投影域用极坐标不等式表示从而故再确定的下, 上边界面解 由得交线与抛物面所围的立体.例1 计算，其中 是球面0xz y1Dxy1例2 计算解解其中是由锥面例3与平面所围成的锥台体.可看出如先对z积分,积不出来.这里应先对 积分,最后对z积分.记投影向量与x轴正方向的规定正方向间的夹角为称为点M的球面坐标.设M(x, y, z)为空间内一点,向xOy平面投影,夹角为二、利用球面坐标计算三重积分直角坐标与球面坐标的关
11、系为在球面坐标下 因此2. 积分区域是由球面、锥面或平面所围成.1. 若被积函数形如 ;常用球面坐标计算.SrMyz x0r =常数 : =常数:球面S动点M(r,)球面坐标下的三坐标面分别为C Cr =常数 : =常数 :S S球面S半平面P动点M(r,)Myz x0P P =常数: 锥面Crdrdrsinxz y0圆锥面rd球面r圆锥面+d球面r+d r 元素区域由六个坐标面围成：drsind球面坐标下的体积元素半平面 及+d ； 半径为r及r+dr的球面； 圆锥面及+drdrdxz y0drd元素区域由六个坐标面围成：rsind半平面 及+d ； 半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+dr 2sin drddsin drddr 2rcos )dVdV =三重积分在球面坐标系下的表达式为通常化为先对 r ,再对 后对 的三次积分.例3 计算其中是锥面 与平面z=a (a0) 所围的立体.解 采用球面坐标例5解逐项积分，且积分后收敛半径不变两边求导得函数项级数习题课几个常用函数的幂级数展开式例1解
