位移计算(图乘法)

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1、9-5 图乘法 位移计算举例kidsEIMM=kiCEI dxMMEI1=DP EIydxEIMM0w=yEI01w=xtgEI01wa=BAkdxxMtgEI1aBAkM dxxtgMEIi1a是直线kidxEIMM直杆MiMi=xtgyxMkdxxy0x0注：y0=x0tg表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图至少有一个是直线。竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。面积与竖标y0在杆的同侧， y0 取正号，否则取负号。几种常见图形的面积和形心的位置：(a+l)/3(b+l)/3=hl/2labhl/2l/2h二次抛物线=2hl/

2、3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线=hl/3二次抛物线=2hl/34l/5l/5hh三次抛物线=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次抛物线=hl/(n+1)顶点顶点顶点顶点顶点当图乘法的适用条件不满足时的处理方法： a）曲杆或EI=EI（x）时，只能用积分法求位移；b）当EI分段为常数或Pl/2l/2EIABm=11/2Pl/4ql2/2MPMPP=1llqAB例：求梁B点转角位移。例：求梁B点竖向线位移。3l/4M、MP均非直线时，应分段图乘再叠加。PPaaa例：求图示梁中点的挠度。PaPaMPP=13a/4a/2a/2Pl/2l/2C例：求图示梁C点的挠度。MPP

3、lCP=1l/2l/6l 6EIPl 123 =Pl EIC212 =DEIPl 4853 =Pl 65 ll EIy C22210=Dw5Pl/6？非标准图形乘直线形a）直线形乘直线形 abdcl/3l/3l/31 2y1y2 ()bcadbdacl+=226 dc+32 3bl+2dc +332al=2yydxMMki+=2211wwMiMk各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。S = 9/6（262 +243+63+42） =111（1）32649S = 9/6（262+203+6302）= 9S=9/6（262243+6342） =15S = 9/

4、6（262+2436342） = 332364（3）9（2） 32649（4）236 9labdch+bah232dchl+()226bcadbdaclS+=b)非标准抛物线乘直线形E=3.3 1010 N/ m2 I=1/12 1002.53cm4=1.3 10-6 m4折减抗弯刚度 0.85EI=0.85 1.3010-63.31010= 3.6465 104 N m2例： 预应力钢筋混凝土墙板单点起吊过程中的计算简图。已知：板宽1m，厚2.5cm，混凝土容重为25000N/m3，求C点的挠度。q=625 N/m2.2m0.8mABC解：q=2500010.025625 N/ m折减抗弯刚

5、度 0.85EI=3.6465 104Nm2200 378P=10.8MPq=625N/m2.2m0.8mABC1y13y32y2P=111ly1y2y323=ly32 21=yly12832323=qllqlw4221 2321=qllqlww83 21232 432 414222 = +=EIqllqllqllql EI()1 332211+=DMyyyEIwwwqllql2/2ql2/8qlql/2ql/2MP122BNP=ql/2NP=09001 934 34 83 210122212 2423 =DD= lhbhMN lh bhlAlI EIql EAql2122 =DP NEAql

6、 EAlql EAlNN求AB两点的相对水平位移。36189MPP=1P=163)()=EI-756 +332 2318 -+ EI643636311+ - 2639632( +-+-=D EI618336318263626616kN2kN/m2kN/m6m3m3mABEI=常数9 9 999994kN4kN.m 2kN/m12kN.m4m4mEIAB求B5kN12844MPkN.m1kN.mqllEIB1ql2/83ql2/2 MPl求B点竖向位移。5m5m5m5m5m2kN/m7kN10kNABGCDEF15kN50kN.m253510201kN2kN10101020m求A点水平位移。P=

7、1MPql2/2 ll/2A B2EIEIl/2求B点的竖向位移。EIql 256174 =lllql EI25 . 023232 212+-lqllqllqllqll EI8222822265 . 0212222 +lql EIlB43 2831122=DEIqlllql EIB843 231142 =Dylql EIB283 31 2102 +=DLq ？ql2/8l/2？ql2/32y0求DVPPP4m3=12m3mABDC5P8PP=15/34/3000000000013P-+llPllPdxEIMMdxEIMM1111+=llPlPdxEIMMdxEIMM11201+=DllPlPd

8、xEIMMdxEIMM11201()-llPdxMMMEI1211=lPdxMMEI011MP MPxqll11M1M2例：试求等截面简支梁C截面的转角。ql/5 4l/52ql2/25ql2/8 MP11/54/51=qllqll1258532 252 52122 +-lql EIC21 83212 =qEIql 100333 =2-1、图示虚拟的广义单位力状态，可求什么位移。（ ）ABP=1/lP=1/lP=1/lP=1/lllCABP=1/ lP=1/llABP=1/ lP=1/ ll（ ）AB杆的转角AB连线的转角 AB杆和AC杆的 相对转角9-6 静定结构由于温度改变而产生的位移计算

9、1）温度改变对静定结构不产生内力，变形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。2）假设：温度沿截面高度为线性分布。t1t2t0hh1h23）微段的变形 dsd at0ds= at/h =0 Dit=MNhttwawa0D=dsMhtdsNtaa0D=DitdshtMdstNaa0该公式仅适用于静定结构=at0at1dsat2ds例9-11 求图示刚架C点的竖向位移。各杆截面为矩形。aa0 +10+10CP=1P=11aN+D=Dtht NMc0wawa=-=Dt10010ooo=+=t52010 0oo()-+a5a+-=haa315a-=a h23102a9-7 静定结构由于支座移动而产生的位移计

10、算静定结构由于支座移动不会产生内力和变形，所以e=0，k=0，g=0。代入得到：仅用于静定结构abl/2l/2h1 10=AY1=BhX 0=BY=1 AhX0=AY1=BhX 0=BY=1 AhX0=AY1=BhX 0=BY=1 AhX0=AY1=BhX 0=BY=1 AhX0=AY1=BhX 0=BY=1 AhX0=AY1=BhX 0=BY=1 AhX制造误差引起的位移计算每个上弦杆加长8mm,求由此引起的A点竖向位移.应用条件：1)应力与应变成正比;2)变形是微小的。即:线性变形体系。P1P2F1F2N1 M1 Q1N2 M2 Q2一、功的互等定理+dsGAQkQ EIMM EANN12

11、1212=D=FW1221+=dsGAQkQ EIMM EANN212121D=PW2112功的互等定理：在任一线性变形体系中，状态的外力在状态的位移上作的功W12等于状态的外力在状态的位移上作的功W21。即： W12= W219-7 互等定理二、位移互等定理P1P2位移互等定理：在任一线性变形体系中，由荷载P1所引起的与荷载P2相应的位移影响系数21 等于由荷载P2所引起的与荷载P1相应的位移影响系数12 。或者说,由单位荷载P1=1所引起的与荷载P2相应的位移21等于由单位荷载P2=1所引起的与荷载P1相应的位移12 。2112jij ijPdD=PPD=D121212PPD=D21212

12、1称为位移影响系数，等于Pj=1所引起的与Pi相应的位移。注意：1）这里荷载可以是广义荷载，位移是相应的广义位移。2）12与21不仅数值相等，量纲也相同。三、反力互等定理c1c2R11R21R22R12jijijcRr =cRcR= 212 121RcR+=221120cRR+221110称为反力影响系数，等于cj=1所引起的与ci相应的反力。反力互等定理：在任一线性变形体系中，由位移c1所引起的与位移c2相应的反力影响系数r21 等于由位移c2所引起的与位移c1相应的反力影响系数r12 。或者说,由单位位移c1=1所引起的与位移c2相应的反力r21等于由单位位移c2=1所引起的与位移c1相应

13、的反力r12 。 注意：1）这里支座位移可以是广义位移，反力是相应的广义力。2）反力互等定理仅用于超静定结构。Pl/2l/23Pl/16C AC例：已知图结构的弯矩图求同一结构由于支座A的转动引起C点的挠度。解：W12=W21 T21=0 W12=PC3Pl/16 0C=3l /16例：图示同一结构的两种状态，求=？P=1m=1m=1AB=A+ BBA已知图a梁支座C上升0.02m引起的D=0.03m/16，试绘图b的M图.PRc(b)aa/2a/2ABCDD0.02m(a)Wab=0= Wba=PD+RC CRC=3P/323Pa/32小结一、虚功原理We=Wi力：满足平衡 位移：变形连续虚设位移虚位移原理（求未知力） 虚功方程等价于平衡条件 虚力原理（求未知位移） 虚功方程等价于位移条件虚设力系二、=刚架、梁桁架支座移动组合结构、拱 各项含义虚设广义单位荷载的方法三、图乘法求位移 =DP EIydxEIMM0w图乘法求位移的适用条件 y0的取法标准图形的面积和形心位置非标准图形乘直线形的处理方法四、互等定理 适用条件 内容 W12= W212112dd=r12=r21