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1、软物质力学行为的研究 陈文 河海大学工程力学研究所 2006年5月27日 1软物质（soft matter)？ 软物质(也称为“复杂流体(complex fluids)”，软凝聚态物质)是介于理想固 体和流体之间的复杂状态物质。 软物质大多由大分子或基团组成，经常 是多相（固、液、气）介质。例如，生 命物质、聚合物、液晶、胶体、薄膜、 泡沫、发泡金属材料、纺织物等。2理想固体晶格结构3Lattice structures456789101112Fractured microstructures1314软物质力学行为研究的重要性 在自然界、生命体、日常生活，工业生产中 广泛存在或使用。 近年欧
2、美物理学会开辟了“软物质”为主要 内容的专业研究杂志，中国科学院物理研究 所2001年成立“软物质物理实验室”；在 Nature 和Science不时有报道，开始引起国 际力学界的关注，逐渐成为研究热点。15河海大学的研究背景 工程力学为河海大学优势工程学科（水利 水电、土木、环境资源等）的支撑性基础 学科。 土壤、水下沉积物、层状岩石、石油、颗 粒物质、淤泥等软物质为水利水电、土木 、环境资源等领域的基本研究对象。 16工程应用举例 超声波在各种软物质中传播的能量耗散，建筑物防 震的软物质隔震阻尼器的耗散，地震勘探中地震波 在多孔岩层和石油中传播的耗散，高速铁轨地基的 振动和噪声； 生物力学
3、问题，纺织软物质的热传导和扩散行为； 液晶、胶体、薄膜、泡沫、发泡金属材料等新材料 的力学性质； 结构安全工程中软物质吸能材料对爆炸、冲击和振 动能量的吸收； 土体本构关系与软土流变、岩石力学与工程、土石 坝应力变形分析等问题。17国内外现状软物质的力学行为比普通固体、液体和气体要复杂得多，难以 用一般的微分方程力学建模方法和统计方法来描述，有关的理 论和计算研究都还不成熟。目前主要还在实验规律的积累阶段 。 软物质力学的研究散见于流变学、复合材料力学、生物力学、 土壤力学、岩土力学、非牛顿流体等领域；涉及多孔介质、颗粒材料、玻璃熔体、高分子材料、生物组织 、泡沫、发泡金属材料等的宏观本构关系
4、；研究的结果经验与 半经验的多，缺少系统性；力学研究依然较薄弱，国内尚无该方向的专业研究实验室和团 队。 18面临的主要问题 物理力学机理不清楚，主要成果以经验和半 经验的凑合模型为主，表现为不同材料有不 同的本构模型，参数多，参数的物理意义不 明确，有人为的经验参数。 现有唯象模型方程的计算量和存储量过大。 跨学科研究少，共性问题的提炼和解决未得 到足够重视。19软物质的“反常” 力学行为特征 物理力学行为不能由“梯度率”描述（例 如，应力应变胡克定律、Fickian扩散率 、Fourier热传导、牛顿粘性、欧姆电阻 率)，熵的作用重要，有幂率现象； 微观和介观（细观）统计上不是“高斯白 噪
5、声” ，为非高斯非马尔科夫过程； 本质上是“历史依赖”、“路径依赖”、“长 程相关”。20软物质力学行为的建模方法 分形、分数阶导数、豪斯道夫分形导数 Levy统计、伸展高斯分布、分数阶布 朗运动 Nonextensive Tsallis熵、Tsallis分布 21典型的软物质力学行为 “反常”扩散（热传导、渗流、电子输运、扩 散等） 振动、声波、电磁波的任意阶频率依赖阻尼 耗散22分数导数的“反常”扩散方程23标准扩散方程的物理背景 Darcys law (granular flow) Fourier heat conduction law Ficks law Ohlm law24 连续性方
6、程: 扩散方程:25非线性模型 Power-law fluids: 复杂流体的本构关系: 涉及卷积运算的多松 弛模型和各种非线性模型 。其特点是不同材 料有不同的本构模型，参数多，有人为的经 验参数（经验和理论凑合型模型）。26基于分数阶导数的“反常扩散方程”Master equation (主方程），宏观唯象模 型27时间导数傅立叶域上的定义 正定分数阶时间导数 ： 分数阶时间导数：W. Chen, S. Holm, Modified Szabos wave equation models for lossy media obeying frequency power law, J. Aco
7、ustic Society of America, 2570-2574, 114(5), 2003.28分数阶时间导数的意义和性质 历史依赖（有记忆）的过程（非马尔科夫过 程），与分数阶布朗运动相对应 带有奇异核的Volterra积分方程 数值计算时不能随意截断29算子例子：Solution:方程例子：30Weierstrass function (differentiability order 0.5) 31材料的力学本构关系 理想固体胡克线弹性定律: 理想（牛顿）流体本构: 刚体运动牛顿第二定律: 软物质的本构关系:32分数阶拉普拉斯算子的定义Samko et al. 1993. Frac
8、tional Integrals and Derivives: Theory and Applications 0 1 新定义的特点：新定义的特点： 弱奇异性（弱奇异性（vs. vs. 强奇异性）强奇异性） ， 精确性（精确性（vs. vs. 差分近似），差分近似）， 有限域上含边界条件（有限域上含边界条件（vs. vs. 无限域上的傅立叶变换定义）无限域上的傅立叶变换定义）Journal of Acoustic Society of America,Journal of Acoustic Society of America, 115(4), 1424-1430, 2004 115(4),
9、1424-1430, 2004 33豪斯道夫分形导数 广义速度: HausdorffHausdorff导数扩散方程导数扩散方程 : 34分数阶时间导数模型方程的数值计算35 N. J. Word, Numerical analysis report, No. 386, UK36分数时间导数方程的数值计算 Volterra型积分方程（卷积算子）的数值算法 ； 有限差分方案：Grunwald-Letnikov分数导数定 义； “Short memory”方法，对分数导数积分的截 断求解（解的稳定性问题）。 其它新的方法？I. Podlubny, Fractional Differential eq
10、uation, Academic Press, 199937空间分数导数方程的数值解 数值离散始终为满阵，计算量大； 有限元离散时的边界条件的处理； 发展快速计算方法（例如，快速多极法） 。38复杂介质的濒率依赖能量衰减的 声学建模39Imaging ComparisonsCourtesy of Prof. Thomas Szabo 40Medical ultrasoundImaging (sonography) and ablating the objects inside human body for medical diagnosis and therapy. 4142脂肪 肌肉肝脏水4
11、3Courtesy of Prof. Thomas Szabo 44经典的耗散型波方程仅能描述 =0, 2两个特例热粘性波方程( =2):阻尼波方程 ( =0):45标准的卷积运算多松弛模型和非线性模型： 不同材料有不同的本构模型； 参数多，有人为的经验参数（本质上为经验 和理论凑合型模型）。我们的分数导数声学模型： 参数少，物理意义明确， 可由实验数据得到参数量。46分数阶拉普拉斯算子的建模空间数值离散：经典的瑞利比例阻尼是=2特例47应用于超声波乳腺癌检测的模拟 将乳房在两个平行的 夹板中固定； 借助于波速和波能量 衰减情况来检测可能 的病变组织。48 Sensitivity of ult
12、rasound imaging versus wave velocity change. Recognizability of small breast lesions in terms of ultrasound dissipation.49Model configurationFractional Laplacian modelA 2D Test50Some simulation results (7.5MHz and 3 pulses)无肿瘤无肿瘤有肿瘤有肿瘤51无肿瘤无肿瘤有肿瘤有肿瘤Ultrasonics, 42, 919-925, 2004 52分数声子和振动吸收能谱(实验）？53
13、软物质的统计建模54伸展（Stretched)高斯分布55Stretched Gaussian diffusion:Gaussian diffusion:56湍流物理量的分布Nature, 409, 10171019, 2001 57Measured probability density of changes of the wind speed over 4 sec58Levy稳态分布59Levy分布的特例Gaussian (=2)Cauchy分布 (=1)6061Tsallis distribution (nonequlibrium system)Tsallis non-extensive
14、 entropyBoltzmann-Gibbs entropyTsallis distributions最 大62Tsallis distribution cases63我们的工作 发展了超声医学成像的分数导数耗散力学模型； 引进了正定分数阶时间导数，提出了改进的分数 阶拉普拉斯算子定义； 引进了分数阶空间时间变换和豪斯道夫分形导 数, 提出了分数量子和声子的猜想； 发展了分数阶导数的湍流统计方程和雷诺方程。64相关学术文章W. Chen, S. Holm, Modified Szabos wave equation models for lossy media obeying frequen
15、cy power law, J. Acoustic Society of America, 2570-2574, 114(5), 2003. W. Chen, S. Holm, Fractional Laplacian time-space models for linear and nonlinear lossy media exhibiting arbitrary frequency dependency, J. Acoustic Society of America, 115(4), 1424-1430, 2004. W. Chen, Lvy stable distribution an
16、d 0,2 power law dependence of acoustic absorption on frequency in various lossy media, 中国物理快报 ，22(10)，2005. W. Chen, Time-space fabric underlying anomalous diffusion, Soliton, Fractal, & Chaos, 28(4), 923-929, 2006. . W. Chen,. A speculative study of 2/3-order fractional Laplacian modeling of turbulence: Some thoughts and conjecture
