结构力学位移的计算

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1、 结构的位移计算1本章主要内容：1 概述；2 线性变形体系的功能原理;3 结构位移计算的一般理论;4 结构位移计算（荷载作用）的单位荷载法;5 图乘法；6 温度变化引起的结构位移7 由于支座位移引起的结构位移计算。课后作业25-1 概述35-1 概述一、结构位移的种类结构在荷载和温度变化等外界因素的影响下将会发生变形，因而结构上各点或截面的位置可能发生改变即产生位移。结构的位移可分为1线位移：结构上各点产生的位置移动 2角位移：杆件横截面所产生的位置转动变形体：在外界因素影响下产生变形（弹性变形和非弹性变形）的 物体统称为变形体45-1 概述一、结构位移的种类55-1 概述一、结构位移的种类绝

2、对位移 相对位移：两点或两截面相互之间位置的改变量65-1 概述二、使结构产生位移的因素1.荷载结构在荷载作用下产生内力 材料发生应变结构产生位移 2.温度变化材料的热胀冷缩 结构产生位移3.支座位移基础发生沉降 结构支座移动、转动 结构产生位移 4.其他因素结构构件的尺寸制作误差、材料的干缩、混凝士凝结收缩等75-1 概述三、计算结构位移的目的1.验算结构的刚度结构要满足强度、刚度、稳定性要求。 结构的刚度：以其变形或位移来量度（在验算结构刚度时，需计算结构位移）。 闸门：沿水流方向位移超过允许限度时，将使闸门的启闭受到阻碍，同 时影响止水效果。 结构设计规范中具体规定2.计算超静定结构计算

3、超静定结构：静力平衡条件、变形协调条件（结构的位移）本章内容处于静定结构分析与超静定结构分析的交界处，起着承上启下 的作用。85-1 概述三、计算结构位移的目的3.为建筑起拱和结构架设提供位移数据(a)大跨度建筑中，结构变形产生明显的下垂现象不但影响美观，而且容易引起人们的不安全感。(b)建筑起拱 (起拱)：把结构做成具有一定上弯度的初始弯曲形式，用以抵消由挠度产生的下垂现象。(需要计算结构位移)95-1 概述三、计算结构位移的目的3.为建筑起拱和结构架设提供位移数据大型桥梁施工进行悬臂拼装时，结构自重、施工机械等临时荷载的 作用，悬臂部分将产生挠度，需计算结构位移，便于拼装时使构件准确 就位

4、；大型结构进行吊装时，需要合理设置起吊点，使安装部位产生的位 移小而且较为均匀，便于安装就位。105-1 概述四、线性变形体系的假设及其特性1线性变形体系（线性弹性体系/线弹性体系）：满足两个基本假设的体系 （1）材料是完全弹性的，服从虎克定律结构在荷载作用下，最大应力不超过材料的弹性比例极限 （2）结构的变形 (位移) 是微小的，因此不影响荷载的作用(材料力学小 变形假设)(不改变荷载作用点的位置和方向)应用静力平衡条件建立方程时，可以不计结构变形(位移)的影响 ， 而采用原始的几何尺寸。115-1 概述四、线性变形体系的假设及其特性2线弹性体系的两个主要特性：(1) 结构的变形 (位移)与

5、其作用力成正比柔度 (影响)系数d：施加单位力时所产生的结构位移 位移D：作用力为一般值时所产生的结构位移D Ki 第一个下标K 位移所在的地点和方向D Ki 第二个下标 i 产生位移的原因有 D Ki = d Ki Pi 125-1 概述四、线性变形体系的假设及其特性2线弹性体系的两个主要特性：（2）计算结构的变形（位移）可应用叠加原理叠加原理：由若干因素共同作用时所产生的效果（内力、变形等），等 于其每个因素单独作用时所产生的效果的总和。135-2 线性变形体系的功能原理145-2 线性变形体系的功能原理一、外力实功线性变形体系的功能原理是结构力学的重要理论基础,本节包括外力实功 、实变形

6、能、附加功或虚功的互等定理以及虚功原理等。线弹性体系的静力加载过程荷载: 0 P 变形: 0 D 两者同步 加载过程中，加载速度缓慢，不至于 引起振动，这样的家在过程，称为静 力加载，相应的荷载为静力荷载155-2 线性变形体系的功能原理 一、外力实功 单位荷载对应的变形: d 当荷载到达最后数值: P 加载过程中荷载的值: F 外力做功增量图示蓝色部分的面积一、外力实功165-2 线性变形体系的功能原理 一、外力实功一、外力实功图示黄色三角形的面积线弹性体系线性在静力荷载作用下，外力所做 的实功等于外力的最后数值与其相应位移乘积 的一半。注意点：(1)外力实功中，位移是由做功的力本身引起的，

7、且外力是变化的(由零开始逐渐增加到其最后数值)。 (2)计算外力实功时，力与位移必须相对应。175-2 线性变形体系的功能原理 一、外力实功一、外力实功计算外力实功时，力与位移必须相对应185-2 线性变形体系的功能原理 一、外力实功一、外力实功广义力：凡是做功的力统称为广义力广义位移：与广义力相对应的位移统称为广义位移广义力(集中力) 广义位移(线位移)广义力(集中力偶) 广义位移(角位移)广义力(一对大小相等方向相反的共线力) 广义位移(相对线位移)广义力(一对大小相等方向相反的共线力偶) 广义位移(相对角位移)195-2 线性变形体系的功能原理 一、外力实功一、外力实功体系上多个外力共同

8、作用时，总的外力实功D i 所有外力共同作用时，在 i 点沿Pi方向所产生的位移205-2 线性变形体系的功能原理 【例5-1】图示等截面直杆，在截面1-1和2-2处，分别作用沿 轴线方向的静力荷载 P1 和 P2，已知杆件截面积为A，材料弹 性模量E，试求外力 P1 和 P2 所做的实功。215-2 线性变形体系的功能原理225-2 线性变形体系的功能原理第一项:P1单独作用时所做的实功第二项:P2单独作用时所做的实功第三项:两个力的相互影响所产生的功 结论：计算外力实功时不能应用叠加原理。235-2 线性变形体系的功能原理第三项的物理意义先加载P1P1做功:再加载P2P2做功:由于P2作用

9、 1-1截面再次下移D l12 P1 在附加位移 D l12 上所做的功“附加功” “虚功”“附加功” 用以区别于外力再其本身所引起的位移上所做的实功245-2 线性变形体系的功能原理 二、实变形能线弹性体系，受到荷载作用，发生变形，荷载卸去后，变形消失。是什么 力量能使体系消除变形的呢?原因:加载过程中，外力作功，通过体系变形，转化为变形能储存到体系内部;卸载过程中，通过消除体系的变形，释放变形能变形能:因弹性变形而积储或释放的能量，称为线弹性体系的变形位能(变形 势能)，简称变形能。一般用U表示实变形能: 与外力实功相对应的变形能 虚变形能: 与外力附加功(虚功)相对应的变形能变形能以体系

10、内力作功来量度的255-2 线性变形体系的功能原理 二、实变形能从某体系的某根杆上任意截取微段ds，研究其内力变形内力在相应位移上所做的内力实功实变形能；略去二阶微量对于线弹性体系，三种变形能各自独立，由材料力学m 为剪应力不均匀分布系数，与截面形状有关矩形截面1.2，圆形截面32/17 ，工字形截面总面积 A除以腹板面积 AS，即A/ AS265-2 线性变形体系的功能原理 二、实变形能(1)将式(2)代入(1)，并在长度方向积分，得到一个杆件的实变形能(2)累加所有杆件的实变形能，得到体系的实变形能计算实变形能时，不能应用叠加原理 (不能按单个荷载产生的实变形能累加得到全部荷载作用的实变形

11、能)275-2 线性变形体系的功能原理 三、实功原理-外力实功与实变形能的关系线弹性体系，静力加载，只发生变形，不引起振动，故无动能的变化。如果不计体系内部因材料应变发生内摩擦而损耗的微小热能，则体系上外力所做的实功，将全部被吸收转化为变形能(能量守恒)。285-2 线性变形体系的功能原理 四、附加功(虚功)的互等定理实功：一批荷载在其本身产生的位移上所做的功附加功：一批荷载在别的因素产生的位移上所做的功做功和位移的下标说明TK i第一下标 K 表示做功的荷载 第二个下标 i 表示做功的位移是在哪个状态DK i第一下标 K 表示位移发生的位置 第二个下标 i 表示引起该位移的荷载1. 附加功的

12、互等定理295-2 线性变形体系的功能原理 四、附加功(虚功)的互等定理第一组荷载 在状态所做实功第二组荷载 在状态所做实功第一组荷载 在状态所做附加功第二组荷载 在状态所做实功第一组荷载 在状态所做实功第二组荷载 在状态所做附加功305-2 线性变形体系的功能原理 四、附加功(虚功)的互等定理由于线性变形体系外力做的实功，与加载顺序无关，只与体系的初始状态 和最终状态有关，所以两种加载次序下所得到的外力(Pi ,Pk)实功相等附加功互等定理: 第一状态的外力在第二状态位移上所做的功 ，等于第二状态的外力在第一状态位移上所做的功。315-2 线性变形体系的功能原理 四、附加功(虚功)的互等定理

13、（1）位移互等定理 力法解超静定梁2. 附加功的互等定理的推论位移互等定理：第个单位力在第二个单位力 方向上所产生的位移，等于第二个 单位力在第一个单位力方向上所产生的位移。注意： 单位力广义力 位移广义位移325-2 线性变形体系的功能原理 四、附加功(虚功)的互等定理（1）位移互等定理 力法解超静定梁2. 附加功的互等定理的推论335-2 线性变形体系的功能原理 四、附加功(虚功)的互等定理（2）反力互等定理 位移法解超静定梁i 状态的反力在 k 状态的位移做功k 状态的反力在 i 状态的位移做功反力互等定理：第一个约束发生单位 位移时在第二个约束中所 引起的反力，等于第二个 约束发生单位

14、位移时在第 一个约束中所引起的反力345-2 线性变形体系的功能原理 五、附加功原理体系总的外力实功：体系总的实变形能：U11与T11相对应(实变形能)U22与T22相对应(实变形能)荷载单独作用时做功和变形能由实功原理， T11=U11 T22=U22 (单独作用) T=U (共同作用)则有， T12 = U12同理可推知， T21 = U21一般情况 Tik = Uiki 状态中的外力在 k 状态中的位移上所做的附加功， 等于 i 状态中的内力因 k 状态中的变形而产生的附加应变能。355-2 线性变形体系的功能原理 五、附加功原理根据： 线弹性体系的附加功原理(外力虚功与虚变形能的关系)

15、方程称为虚功方程。 可写为 外力 位移 内力 变形 虚功原理需要涉及到两个状态：(1)一个状态取其外力和内力 (2)一个状态取其位移和变形 实际上一般只提供一个状态即实际状态， 另一个状态假设(根据分析问题的需要设定)虚拟状态365-2 线性变形体系的功能原理 五、附加功原理外力虚设虚力原理外力位移 内力变形实际的位移(变形)虚拟的力系位移虚设虚位移原理外力位移 内力变形虚拟的位移(变形)实际的力系虚功原理适用范围：线弹性体系，非线弹性体系产生的变形(位移)的原因可以为外界各种因素：(包括荷载、温度变化、支座沉降、制造误差等)小变形范围375-4 结构位移计算的一般理论385-3 结构位移计算

16、的一般理论 一、结构位移计算的一般公式虚功方程：虚设 Pi = 1 (虚拟状态)：结构位移的一般计算公式（单位荷载法）表示虚拟状态中由虚设单位力Pi = 1所产生的内力表示实际状态中结构杆件微段的变形。表示实际状态中由于杆件变形引起的结构位移。395-3 结构位移计算的一般理论 二、虚拟状态的设置方法虚拟状态中所设置的单位力与所求位移，必须符合广义力与广义位移 的对应关系。单位力是无量纲的量405-3 结构位移计算的一般理论415-3 结构位移计算的一般理论425-4 结构位移计算(荷载作用)的单位荷载法435-4 结构位移计算(荷载作用)的单位荷载法虚力原理的应用(MaxwellMohr 法)根据结构位移计算的一般公式k 状态：实际状态，内力以FNP、MP、FQP 表示对线弹性体系，有线弹性体系杆件结构在荷载作用下，结构位移计算的一