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1、圆里的 截长补短天马行空官方博客：http:/ ；QQ:1318241189；QQ群：175569632题目： 如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.）ABCM分析： 把已知条件及可得结论 标在图上：6060 60 60BAC=60， 。.天马行空官方博客：http:/ ；QQ:1318241189；QQ群：175569632题目： 如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.）ABCM分析： 把已知条件及可得结论 标在图上：6060 60 60BAC=60， 。.把能表示的60角 用圆弧表示：题目： 如图，M是等边ABC的外接圆B
2、C上的一点， 求证：MA = MB+MC.）ABCM分析： 把已知条件及可得结论 标在图上：60 60 60BAC=60， 。.把能表示的60角 用圆弧表示：）题目： 如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.）ABCM分析： 把已知条件及可得结论 标在图上：60 60BAC=60， 。.把能表示的60角 用圆弧表示：）题目： 如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.）ABCM分析： 把已知条件及可得结论 标在图上：BAC=60， 。.把能表示的60角 用圆弧表示：）60题目： 如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA
3、 = MB+MC.）ABCM分析： 把已知条件及可得结论 标在图上：BAC=60， 。.把能表示的60角 用圆弧表示：）题目： 如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.）ABCMBAC=60， 。.）分析1：补短法延长BM到N， 使MN=CM，N CMN=BAC=60，）连结CN. MA=NB，MA？NB？MACNBC， AC=BC， MAC=NBC， AMC=BNC， AMC=60， BNC=60，CMN是等边三角形，CMN是等边三角形，题目： 如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.）ABCM。.）证法1： 延长BM到N，使M
4、N=CM，N）连结CN.MA=NB，MACNBC，AC=BC，MA=MB+MC.AB=BC=CA， BAC=ABC=60. CMN=BAC=60， CMN是等边三角形， BNC=60. AMC=ABC=60， AMC=BNC. MAC=NBC，题目： 如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.）ABCMBAC=60， 。.）分析2：补短法延长MB到S， 使BS=MC，SACM=ABS，连结AS. MA=MS，MA？SA？ AC=AB，ABS=ACM，MC=SB，MACSAB，AMB=60， MA=MS=AS，MA=AS，ABCM。.）证法2： 延长MB到S，使BS
5、=MC，S连结AS. AC=AB=BC，则ABS=ACM.MACSAB，AMB=ACB=60，MA=MS=AS，MA=SA.MA=MB+MC.题目： 如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.）ACB=60，题目： 如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.）ABCM。.）分析3：补短法延长MC到T， 使CT=BM，TABM=ACT，连结AT. MA=MT，MA？TA？ AB=AC，ACT=ABM，BM=CT，MABTAC，AMC=60， MA=MT=AT，MA=AT，ABCM。.）证法3： 延长MC到T，使CT=BM，T连结AT.则
6、ACT=ABM，AC=AB=BC， MABTAC，AMC=ABC=60，MA=MT=AT，MA=TA.MA=MB+MC.题目： 如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.）ABC=60，题目： 如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.）ABCM。.）分析4：补短法延长CM到F， 使MF=BM，FABM=CBF，连结BF. MA=FC，MA？FC？ AB=CB， BM=BF，MABFCB，BAC=60，BMF=BAC=60，）BFM是等边三角形，BFM是等边三角形，）ABCM。.）证法4：延长CM到F，使MF=BM，FFMB=FBM=
7、60，连结BF，MA=FC，AB=AC=CB， BAC=ABC=60.BM=BF，MABFCB，则BMF=BAC=60，）则BFM是等边三角形，）ABM=CBF，MA=MB+MC.题目： 如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.）题目： 如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.）ABCM。）分析5：截长法在AM上截取AE=MC，EBCM=BAM，连结BE.ME=MB，MB？EB？ BC=BA， CM=AE，MBCEBA，AMB=60，ME=MB=BE，MB=EB，ABCM。）证法5： 在AM上截取AE=MC，EBCM=BAE，CM
8、=AE，ME=MB；BC=BA=AC， ACB=60.MBCEBA，AMB=ACB=60， ME=MB=BE，MA=ME+AE=MB+MC.连结BE.题目： 如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.）题目： 如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.）ABCM分析6：截长法在MA上截取MK=MC，KKAC=MBC，连结KC.AK=MB，AK？BM？ AC=BC， AKC=BMC，AKCBMC，KCM是等边三角形，BMC=120，.）AKC=120，KCM是等边三角形.）ABCM证法6： 在MA上截取MK=MC，KKAC=MBC，连结
9、KC.AK=MB，AC=BC=AB， ABC=ACB=60， AMC=ABC=60，AMB=ACB=60， BMC=120，AKCBMC，KCM是等边三角形，.）AKC=120=BMC，）MA=AK+MK=MB+MC.题目： 如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.）题目： 如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.）ABCM分析7：截长法在AM上截取AD=MB，DMBC=DAC，连结DC.MD=MC，MC？DC？ CB=CA， BM=AD，MCBDCA，DMC=60，.）MD=MC=DC，）MC=DC，ABCM证法7： 在AM上截
10、取AD=MB，DMBC=DAC，连结DC. CB=CA=AB， ABC=60.BM=AD， MCBDCA，DMC=ABC=60，.）MD=MC=DC，）MC=DC.MA=AD+MD=MB+MC.题目： 如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.）题目： 如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.）ABCM。）分析8：截长法在MA上截取MH=MB，H BAH=BCM，连结BH.AH=MC，AH？CM？ AB=CB， ABH=CBM，AHBCMB，ABC=60， HBM=60，HBM是等边三角形.HBM是等边三角形.ABCM。）证法8：
11、在MA上截取MH=MB，HBAH=BCM， AHBCMB， AH=MC，连结BH. AB=CB=BC，ACB=ABC=60. AMB=ACB=60， HBM是等边三角形， HBM=60=ABC， ABH=CBM.MA=MH+AH=MB+MC.题目： 如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.）“截长补短”是初中平面几何中化难为易的一种常用解题思想。本题是一道典型例题。这里表现 8 种证法，是要说明实际解题时怎么补、怎么截。在作好辅助线后要及时 看到所产生的辅助条件，结合已知条件打通 思路。本题的其它证法附于后面。ABCM证法9：BC=AC=AB，由托勒密定理得 BCMA =ACMB+ABMC.MA=MB+MC.题目： 如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.）ABCM。）证法10：记MA交BC于点P.AMC=AMB . BCM=BAM ， MCP MAB ，MA=MB+MC.题目： 如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.）P = ；MC CP MA AB同理， = .MB BP MA AC + = + =1，MB MC BP CP MA MA AC ABAC=AB， AC(=AB，BC=AC=AB，.
