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1、数学物理方法中期测试2010年4月29日第一题一、1、#3一 2、#4一、35第二题78第三题1011第四题1314第五题161718第六题2021222324l采用拉氏变换法求解定解问题时, 往 往是针对时间变量t进行的, 特别是对带有边界条件的定解问题.l在解题时，采用简写记号 2612.4.1 波动方程的定解问题【例 12.4.1】求解半无界波动方程的混合问 题解 1. 对方程和边界条件作关于t 的拉氏变 换.由拉氏变换的定义、微分定理及初始条 件可得带参数 p 的常微分方程的边值问题27l2. 求解象函数u(x,p)方程 (12.4.4)的通解是相应的齐次方程的通解与 (12.4.4)
2、式的特解之和, 即 l将式(12.4.6)代入式(12.4.5), 得C10, C2 l代入上式，便有28(3) 对像函数作拉氏逆变换.利用12.3节的式(12.3.18)及延迟定理 l其中，当t-t 0 时, f(t-t) = 0是拉氏变换存 在定理要求的条件.由式(12.4.8)、式 (12.4.9)得29l当泛定方程的非齐次项不是常数C时，也 可按类似的方法计算. 3012.4.2热传导方程的定解问题l【例12.4.2】半无限长的均匀杆，其端点温 度按f(t)的规律变化，已知杆的初始温度为 零，求杆上的温度分布规律.l解 定解问题为l(1)对方程和边界条件作关于t的拉氏变换 32(2)
3、求像函数u(x,p)l方程(12.4.13)的通解为33(3)对像函数作拉氏逆变换 l由拉氏变换表可 得 (12.4.16)34代入微分定理得l作拉氏逆变换即有(见习题12.4.4)l将式(12.4.18)代入式(12.4.16)即有353612.4.1 求解下面定解问题解、(1)对 utt 作关于t的拉普拉斯变换，得：Lutt =p2 Lu (x,t)-pu(x,0)- ut (x,0) 令Lu (x,t)= 将初始条件代入，得： Lutt =p238对方程及边界条件作关于t的拉普拉斯变换得：l(2)、求像函数 方程的通解是齐次 方程通解与非齐次方程特解之和，即3940(3)、反演 易见l现分别计算两项：l第一项41第二项 利用延迟定理l第一项与第二项结果相加，即l第一 项42谢谢!
