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1、南通中学南通中学 2014-20152014-2015 学年高一上学期期末考试学年高一上学期期末考试数学试题数学试题一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分不需要写出解答过程，请把答案 直接填空在答题卡相应位置上 1 若角 135的终边上有一点(一 4，a)，则 a 的值是 42 若( )sin6f xx的最小正周期是，其中0，则的值是 23 化简：sin13 cos17sin17 cos13= 1 24 已知向量(14,0),( 2, 2),ABAC 则ABAC 与的夹角的大小为 45 已知sintan0,那么角是第 象限角.二或三6 已知向量 1,1a，2,nb，若a
2、bab，则n 27 1tan11tan44的值为 28 下把函数3sin 23yx的图象向右平移6个单位长度得到的函数图象解析式为 f(x)=3sin2x9 函数在( )sinf xxa，,3x上有 2 个零点，则实数a的取值范围 3,1)210已知函数( )sintan1f xaxbx，满足()73f，则()3f= -511. 在 ABC 中，有命题：ABACBC ；0ABBCCA ；若() ()0ABACABAC ，则 ABC 为等腰三角形；若 ABC 为直角三角形，则0AC AB .上述命题正确的是 （填序号） 12已知函数2tan162xyx,则函数的定义域是 44xxx 且13已知2
3、a ,2b ,a 与b 的夹角为45,且baa ,则实数的值为 214在 ABC 中， 5 12B ，D 是 BC 边上任意一点（D 与 B、C 不重合） ，且2AC 22BCAD 2BD DCAC CB ，则A等于 6二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤.15 （本小题满分 14 分）已知向量=(cos ,1)a，(2,1sin)b，且1a b .(1)求tan的值；(2)求2sin3cos 4sin9cos 的值.解：(1)因为1sin1cos2ba， 即cos2sin 显然，0cos，所以2tan(2)2sin3
4、cos4sin9cos=2tan322314tan9429 ；16 （本小题满分 14 分）已知(1,2)a ，( 3,2)b , 当k为何值时(1)kab 与3ab 垂直？(2)kab 与3ab 平行？平行时它们是同向还是反向？解：(1,2)( 3,2)(3,22)kabkkk ；3(1,2)3( 3,2)(10, 4)ab(1)()kab(3 )ab，得()kab(3 )10(3)4(22)2380abkkk，19k (1)()/kab(3 )ab ，得4(3)10(22)kk，1 3k 此时10 41(, )(10, 4)333kab ，所以方向相反.17 （本小题满分 14 分）已知函
5、数( )sin()f xAxb（0A ，0，2）的图像如图所示(1)求出函数( )f x的解析式；(2)若将函数( )f x的图像向右移动3个单位得到函数( )yg x的图像，求出函数( )yg x的单调增区间及对称中心.解：（1） 6( 2)42A 6( 2)22b 42()2233T 4T 1 21( )4sin()223f xx（2） 1( )4sin()226g xx 增区间 1222262kxk k Z424433kxk k Z；增区间 424,433kkk Z1 26xk kZ； 23xk k Z对称中心(2,2)3kk Z18 （本小题满分 16 分）已知(cos ,sin)a，
6、(cos,sin)b，且7|7ab.(1)求sincos 2sincos22的值；(2)若1cos7，且02，求的值22211|,(coscos)(sinsin)77 122(coscossinsin),7 13cos().14ab解：(1)由条件得即所以故(2)0,(0,)22 113cos,cos()714 4 33 3sin,sin()714 sinsin() sincos()cossin()4 3 131 3 33 7147142(0,),.23 19 （本小题满分 16 分）某休闲农庄有一块长方形鱼塘 ABCD，AB=50 米，BC=25 3米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘
7、内建 3 条如图所示的观光走廊 OE、EF 和 OF，考虑到整体规划，要求 O 是 AB 的中点，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 AD 上，且EOF=90 (1)设BOE=，试将OEF的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；(2)经核算，三条走廊每米建设费用均为 4000 元，试问如何设计才能使建设总费用最 低 并求出最低总费用解：(1)在 RtBOE 中，OB=25, B=90，BOE=，OE=25 cos. 在 RtAOF 中，OA=25, A=90，AFO=，OF=25 sin. 又EOF=90，EF=22222525()()cossinOEOF=25 cossin,25
8、2525 cossincossinlOEOFEF，即25(sincos1) cossinl 当点 F 在点 D 时，这时角最小，求得此时= 6；当点 E 在 C 点时，这时角最大，求得此时= 3故此函数的定义域为 ,6 3. (2)由题意知，要求建设总费用最低，只要求OEF的周长l的最小值即可.由（1）得，25(sincos1) cossinl ， ,6 3设sincost，则21sincos2t，225(sincos1)25(1)50 1cossin1 2tltt 由，57 12412，得3122t ，311212t ，从而121311t ，当 4，即 BE=25 时，min50( 21)l
9、,所以当 BE=AF=25 米时，铺路总费用最低，最低总费用为200000( 21)元. 20 （本小题满分 16 分）如图，已知扇形 OAB 的周长 2+2 3，面积为3，并且1OAOB .(1)求AOB的大小；(2)如图所示，当点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB 上变动若,OCxOAyOB 其中x、yR，求xy的最大值与最小值的和；(3)若点 C、D 在以 O 为圆心的圆上，且OCDO 问BC 与AD的夹角取何值时，BC AD的值最大？并求出这个最大值解：（1）设扇形半径为r ，圆心角AOB由 22223 1 23rrr 得1 2 3r 或3 6r 又当3r、6时，1OAOB 不成立；当1r 、2 3时，1OAOB 成立，所以2 3AOB（2）如图所示，建立直角坐标系，则 A（1，0） ，B13,22，Ccos ,sin由,OCxOAyOB 得cos2yx，3sin2y即32 3cossin ,sin33xy则32 321cossinsinsin(2)33363xy又20,3，则72,666 ，故 maxxy min100xy
