《【数学】上海市交大学附中2013-2014学年高二下学期期末考试》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【数学】上海市交大学附中2013-2014学年高二下学期期末考试（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1（满分（满分 150150 分，分，120120 分钟完成，答案一律写在答题纸上）分钟完成，答案一律写在答题纸上）一、填空题（一、填空题（本大题共本大题共 1414 题，每题题，每题 4 4 分，满分分，满分 5656 分分）1.设复数z满足(1)2i zi,则z_i1_。2.三个平面最多把空间分割成 8 个部分。3.若圆锥的侧面展开图是半径为 2、圆心角为 180的扇形，则这个圆锥的体积是 3 3 。4.如图,在正三棱柱111ABCABC中,16AA ,异面直线1BC与1AA所成角的大小为6,该三棱柱的体积为 18 3 。5.62)12(xx 的展开式中的常数项是 60 。6.8 名同学争
2、夺 3 项冠军，获得冠军的可能性有 512 种。 7.将三个 1、三个 2、三个 3 填入 33 的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，则 不同的填写方法共有 12 种。 8.用 4 种颜色给一个正四面体的 4 个顶点染色，若同一条棱的两个端点不能用相同的颜 色，那么不同的染色方法共有_24_种。9.从n个正整数1,2,n中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为1 14,则n 8 。10. 用 0、1、2、3、4、5 组成一个无重复数字的五位数，这个数是偶数的概率为 13 25。11. 设复数( ,0)zxyi x yR y，22zzR，z在复平面上所对应点在直线yx上，则z=
3、 2 。12. 如图是一个正方体的表面展开图，A、B、C 均为棱的中点，D 是顶点，则在正方体中，异面直线 AB 和 CD 的夹角的余弦值为 10 5。13. 在直三棱柱111ABCABC中，底面 ABC 为直角三角形，2BAC，B1A1C1ACB第 4 题B ACD第 12 题211ABACAA. 已知与分别为11AB和1CC的中点，与分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点）. 若GDEF，则线段DF的长度的最小值为 5 5。【解解】建立直角坐标系，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，则1( ,0,0)F t（101t） ，1(0,1, )2E，1( ,0,1)2G，2(0, ,0)Dt（20
4、1t） 。所以11( , 1,)2EFt ，21(, , 1)2GDt 。因为GDEF，所以1221tt，由此推出 2102t。又12( ,0)DFtt ，22 12DFtt22 222215415()55ttt，从而有 min5 5DF 。14. 一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为4 6的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是 72 3 解 如答 12 图 1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r，作平面111A BC/平面ABC，与小球相切于点D，则小球球心O为正四面体111PA BC的中心，111POABC面，垂足D为111A B
5、C的中心因 1 1 11 1 11 3P A B CA B CVSPD1 1 14O A B CV1 1 1143A B CSOD，故44PDODr，从而43POPDODrrr记此时小球与面PAB的切点为1P，连接1OP，则2222 11(3 )2 2PPPOOPrrr考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB)相切时的情况，易知小球在面PAB上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为1PEF，如答 12 图 2记正四面体的棱长为a，过1P作1PMPA于M因16MPP，有113cos2 262PMPPMPPrr，故小三角形的边长122 6PEPAPMar小球与面PAB不能接触到的部分的面积为（如
6、答 12 图 2 中阴影部分）31PABPEFSS223(2 6 ) )4aar23 26 3arr 又1r ，4 6a ，所以124 36 318 3PABPEFSS由对称性，且正四面体共 4 个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为72 3二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 4 4 题，每题题，每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分）分）15. 已知nm,为异面直线,m平面,n平面.平面 与 外的直线l满足,lm ln,则（D ）A/,且/lB,且lC与相交,且交线垂直于lD与相交,且交线平行于l16. 如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放
7、在容器 口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如果不计容器的厚度,则 球的体积为 （ A ）A3500 3cmB3866 3cmC31372 3cmD32048 3cm17. 三个人乘同一列火车，火车有 10 节车厢，则至少有 2 人上了同一车厢的概率为（ B ）A20029B257C27 100D18718.201481除以 100 的余数是(C)A1 B79 C 21 D81解：2014201409219120132014 201420142014201481(80 1)8080.80CCCC=2102014 80 1()mmN=210161120 1m4即20148
8、1除以 100 的余数为 21。三、解答题三、解答题( (本大题共本大题共 5 5 题，满分题，满分 7474 分分 12+14+14+16+18=74)12+14+14+16+18=74)19. 如图，AB 是底面半径为 1 的圆柱的一条母线，O 为下底面中心，BC 是下底面的一条切线。第 16 题4（1）求证：OBAC； （2）若 AC 与圆柱下底面所成的角为 30，OA=2。求三棱锥 A-BOC 的体积。 解：（1）连结 OB，由圆的切线性质有 OBBC，而 BC 是 AC 在底面O 上的射影，OB平面 ABC，OBAC。（2）在 RtOA B 中，AB3又ACB 就是 AC 与底面O
9、所成角，30 ,3,2 3ACBBCAC,113 362A BOCBOCVABSAB OBBCA20. 如图,已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为 8，侧棱长为 6，D为AC中点。（1）求证：直线AB1平面C1DB；（2）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值。证明：（1）连 B1C 交1BC于 E，连 DE, 则 DE1AB，而 DE面 C1DB，1AB面 C1DB， DBAB11C平面（2）由（1）知DEB 为异面直线11BC与AB所成的角，在5345BEBDDEDEB，中， 251 5524850DEBcos。 21. 已知：对于任意的多项式( )f x与任意复数z，( )0f z
10、 xz整除( )f x。利用上述定理解决下列问题：（1）在复数范围内分解因式：21xx；（2）求所有满足21xx整除21nnxx的正整数n构成的集合 A。解：（1）令210xx 解得两个根2, ，这里13 22i 所以2213131()()()()2222xxxxxi xi （2）记2( )1nnf xxx。210xx 有两个根2, ，这里13 22i ，31A1C1CBAB1D522. 设012211( )(1)nnnnn nnnnnf xxCC xC xCxC x（n是正整数） ，利用赋值法解决下列问题：（1）求012 1n nnnnSCCCC；（2）n为偶数时，求1351 2n nnnn
11、SCCCC；（3）n是 3 的倍数时，求2581 3n nnnnSCCCC。解：令01( )(1)nnn nnnf xxCC xC x，（1）01(1)2nn nnnfCCC，所以12nS （2）011( 1)0nnn nnnnfCCCC，所以13511 1(1)( 1)22nn nnnnffSCCCC（3）记13 22i ，则31。当3 | n时，210nnxx ，当3|n时，213nnxx ，记03 0n nnntCCC，142 1n nnntCCC，251 2n nnntCCC01(1)2nn nnnfCCC，0101223425( )(1)nnnn nnnnnnnnnnfCCCCCCC
12、CCC，22021202123245()(1)nnnn nnnnnnnnnnfCCCCCCCCCC则01222 01222 0122(1)()( 1)(1)()( 1)nnnnnnnttttttttt 从上到下各式分别乘以21, ，求得2 211(2( 1)( 1)(2( 1) )33nnnnnt 。即251 32( 1) 3nn n nnnSCCC 23. 宇宙深处有一颗美丽的行星，这个行星是一个半径为 r（r0）的球。人们在行星表面6建立了与地球表面同样的经纬度系统。已知行星表面上的 A 点落在北纬 60，东经 30；B 点落在东经 30的赤道上；C 点落在北纬 60，东经 90。在赤道上
13、有点 P 满足 PB 两点间的球面距离等于 AB 两点间的球面距离。 （1）求 AC 两点间的球面距离； （2）求 P 点的经度； （3）求 AP 两点间的球面距离。 解：设球心为 O，北纬 60圈所对应的圆心为 O ，（1）那么 OO=rr2360sin。OA=OC=r21。又因为AOC=60。所以 AC=r21。那么AOC=41arcsin2（87arccos）两点间的球面距离为41arcsin2r（87arccosr）（2）PB 两点间的球面距离等于 AB 两点间的球面距离，所以 PB=AB。 可知POB=AOB=60，又 P 点在赤道上。所以 P 点的经度为东经 90或西经 30。 （3）显然 P 点的两种可能对应的 AP 间的球面距离相等。不妨 P 所在的经度为东经 90。 由条件可知 OA 平行 OB 且等于 OB 的一半，延长 BA 与 OO交于 D 点，那么21DODO DBDA。而 OC 平行 OP 且等于 OP 的一半，所以 D、P、C 共线且21DODO DPDC。可知 ACBP，所以 A、B、C、P 共面。
